Composition et forme de l'équation aux différences

On peut reconnaître à priori, pour toute équation du degré m, la forme et la composition de l 'équation aux différences des racines de cette équation.

Désignons toujours par x', x", x"' . . ., les racines de la proposée, paru l’une quelconque des différences; et remarquons que , si l’une des différences est x " — x', il en existe nécessairement une autre , x' — x", qui ne diffère de celle-là que par le signe; c’est-à-dire que, si a est une valeur de u, — a. en est nécessairement une autre ; de môme , g étant une racine , — P en est une autre, etc..,.

Donc le premier membre de l’équation en u peut être mis sous la forme

( u — a) (u + a) (u — g) (u+g) (u — y) (u -t- y) . . . = 0 , ou , multipliant les facteurs deux à deux ,

(mj— *’) (a’— fi1) (ît’— y1) =0.

Donc cette équation est de degré pair, et, de plus, ne renferme que des puissances de degré pair de l’inconnue; c’est-à-dire qu’elle est de la forme '

u ** + + TV + U' = 0.

Le degré 2 n est d’ailleurs égal à m(m — 1), ou bien (n° 146) au nombre d’arrangemens deux à deux que l’on peut faire avec un nombre m de lettres.

Si, dans l’équation précédente, on pose, pour simplifier, u’= *, elle devient . .

zn -f p'z«- 1 + Q'r'i— » + . . . . + T'z + U' = 0 ,

aG

DE l'abaissement DES ÉCLATIONS.

équation d’un degré sous-double, n, ou m

dont les ra-

cines sont les carré s des différence* entre les racines x', x", x'", . . . ; car, en mettant dans la relation u* — z, à la place de «, ses différentes valeurs x" — x' , x'" on obtient

L’équation en z, à laquelle on est parvenu tout à l’heure, s’appelle, pour cette raison, l 'équation aux carré* de* différence* ; et on la considère ordinairement de préférence à l’équation aux différences, comme étant d’un degré sout-doulle.

Ainsi, dans l’exemple du numéro précédent, l’équation aux différences est du 6e degré , c’est-à-dire d’un degré marqué par 3(3 — L),. ou par 6. Elle ne renferme que de3 puissances de degré pair; et si l’on pose ua = r, elle devient — 36*’ + 324* + 459 = 0,

équation dont les racines sont les carrés des différences des racines de la proposée.

L’équation alx différences , ou aux carrés des différences , nous sera très utile par la suite.

§ III. — des équations susceptibles d’abaissement.

On comprend sous ce titre toutes les équations dont deux ou plusieurs racines ont entre elles des relations particulières, parce qu’en général on peut faire dépendre la résolution de ces équations de celle d’autres équations de det/ré moindre. Telles sont les équations qui ont des racines égales, c’est-à-dire dont le premier membre (n° 240) contient des facteurs égaux.

Les méthodes qui se rapportent à ces classes d’équations s’appellent méthode* d'abaissement , et doivent être regardées, jusqu’à un certain point, comme une branche de la transformation des équations , puisque le but général de cette théorie est de ramener la résolution d’une équation à celle d’une équation plus simple. V

MÉTHODE DES RACINES ÉGALÉS. j

276. Dire qu’une équation a des racines égales , c^est dire (n° 240) que son premier membre a des facteurs pgaux ; dès

lors, le premier polynôme dérivé, qui est (n° 264) la somme des produits (m — 1) à (m — 1) des m facteurs, contient dans chacune de ses parties au moins une fois le facteur qui entre plusieurs fois dans la proposée. Donc , il doit exister un commun diviseur entre le premier membre de la proposée et son premier polynôme dérivé.

Mais de quelle manière ce commun diviseur se compose-t-il au moyen desjncteurs égaux de la proposée ? c’est ce qu’il s’agit maintenant d’examiner.

277. Une équation étant donnée, on demande de reconnaître si elle a des racines égales, et, s’il est possible , de déterminer ces racines. ■ *. i

Désignons par 5F le premier membre de l’équation xm + Pxm— 1 + Qxm— » + ....+ Tx+U = 0;

supposons qu’il renferme » facteurs égaux à x — a, n facteurs égaux à x — b , n" facteurs égaux à x — c . . . , et qu’il contienne en outre les facteurs simples x — p , x — q , x — r...; en sorte que l’on ait

Si l’on considère Y , ou le polynôme dérivé de X , on a vu (n° 264) que ce polynôme est la somme des quotiens de la division de X par chacun des m facteurs du premier degré de la proposée. Or, comme X renferme n facteurs égaux & x — a , on aura d’a-

bord n quotiens partiels égaux à — — — ; même raisonnement

pour chaoun des facteurs égaux , x — b, x — c . . .; d’ailleurs, on

ne peut former qu’un seul quotient égal à , , . . .

Ainsi , Y est nécessairement de la forme

nX , »'X , n»X , X X X

D’après cette composition du polynôme Y, il est visible que ( x — a)"— i, (x — b)n'—‘, (x — - «)*"— ‘,... sont des facteurs communs à toutes les parties de ce polynôme ; donc le produit (x — «)a— 1 (x — b)"'—’ [x — c)n"~l .... est un diviseur relatif

THÉORIE

de Y ; d’ailleurs X renferme aussi évidemment ce diviseur ; ainsi

X et Y ont pour commun diviseur relatif,

(x — a)"—1 ( x — b)n'— > ( x — c'y"— je dis maintenant que

c’est leur plus grand commun diviseur. En effet , les facteurs premiers de X sont x — a , x — b , x — c, . . . et x — p , x — g, x — r, ... ; or , Y ne peut avoir pour diviseur , x — p , x — g, x — r, . . . . puisque chacun d’eux entre comme facteur dans toutes les parties de Y, excepté dans une seule.

Donc enfin le Çlus grand commun diviseur de X et de Y est

c’est-à-dire que ce plus grand commun diviseur est le produit des facteurs gui entrent plusieurs fois dans la proposée, élevés respectivement à une puissance moindre d’une unité gue dans la proposée.