lBx3y3, — 18x3y3 — 24x4y
> 3° reste ........ 4- 3Sx3y3 — 42 xby — S8xs
• y . — 3Bx3y3 4- 42x4ÿ4rS0x5 / j*
resté final ..... 0.
Comme il importe .aux commençans de se fa'miliariser avec les opérations algébriques, et surtout de calculer promptement, nous allons traiter de nouveau le dernier exemple, en indiquant les simplifications qu’il est à propos d’introduire.
• Elles consistent, comme en Arithmétique, à soustraire du dividende chaque produit partiel , immédiatement après avoir formé ce produit.
des. roi.Y’foàESt St
— 40y54-68.i'y,*-t-25.rIy3 + 21x3y1 — 18.r4y — ëô-r5 ) 8y’ — 6.ry — 8x'
lCr reste.. + 20xy/i— 39x3y3 q-Sl.r3»^ — lBxty — 56x5 J — 8y3 -f^xy’ — ■Zx’’ y +1 y*
2° reste. . . — 1 Sx’y3 -p 83.r3y’ — 18-r<y — Sfij"
3' reste... + 35.r3ya — 42xty — 56xs *• . .
reste final ; . . . 0.
Si l’on divise d’abord — 40ys , par ëy1 , il vient pour quotient ,
— 8y3. Multipliant ëy1 par — 8y3 , on a — 40y5 , qui , changé de
signe, donne +40y5, terme qui détruit le premier terme, du dividende. , , '
De même , — 6xy x — 8y3 donne + , et pour là soustrabtion ,
— 48xyî, qui , réduit avec + 68xy4, donne pour reste +20>yi.
Enfin, — 8x* X — 8y3 donne +, et pour la soustraction,
— 64x'y3,qui, réduit avec + 25,r’y3, donne — 39.r’y3. Le résultat de la première opération est donc +20xyi — 39x’y3 suivi des autres ternies du dividende qui n’ont pas été réduits avec les produits partiels déjà obtenus.
On opère sur le nouveau dividende comme on a opéré sur le dividende primitif, et ainsi de suite.
Troisième exemple.
Soit à diviser 08a — 7 Sa3 + 56a4 — 25 — 89a3 par — Sa1 + 8 — lia + 7a3.
Ma* — 59a3— 73a’ + 95a — 25 ) 7a3 — Sa’ — 1 la + 5 1" reste.,.. —35a3 + 15«’ + 55a — 25 ) 8a — 5 . ‘
2e reste. . . 0. . •
29. Il peut arriver que l’un des polynômes proposés, ’QU tous, les deux, renferment plusieurs termes affectés d’une même puis-sance de la lettre par rapport à laquelle on veut ordonner.
Comment doit-on, dans ce cas, disposer les polynômes et effectuer la division ? '
Soit à diviser s V
» lla’4 — 19aJe + 10a3 — 15a’c + Bai1 + 184c3— 84’c par 5a1 + 8a4 — 54c.
On remarque que les deux leriqes 1 la’4 — I5a’c peuvent être mis sous la forme
DIVISION
uu
en écrivant une seule fois la puissance a’, et plaçant à gauche, dans une même colonne Verticale, l'ensemble des quantités qui multiplient cette puissance; ce polynôme multiplicateur s'appelle alors, par extension ( n° 2 ), le coefficient de a’.
[Cette seconde manière de réunir les termes affectés d’une fhème puissance est préférable à la première, sous deux rapports : 1° parce que, s’il y a beaucoup de termes dans le dividende et le diviseur, on a de la peine à les faire tous tenir sur une même ligne horizontale ; 2“ parce que , comme le coefficient de chaque puissance doit être lui-mème ordonné par rapport à une seconde lettre , on est obligé, si le premier terme est soustractif, de faire éprouver aux termes une modification qui peut induire en erreur lorsqu’on emploie la première manière. Soit , par exemple , l’expression — 15é’a’ -f 7 ira’ — 8 c’a’ ; la modification consiste à mettre cette expression sous la forme
— (15ê’ — 7 lie + 8c’) a1 . , . . (n° 15) ;
au lieu que par la seconde, on l’écrit ainsi : — 15ê’ a’; et de
.* *- 1 + 7êc
cette manière, on a l’avantage de conserver à chaque terme le signe dont il était d’abord affecte.]
Pareillement, — 19aêe + 3 aê’ s’écrira ’ + 3é’ 'a.
Cela posé , voici comment on effectuera l'opération :
r, 10a3 + lié 1" reste. +
a’ + 3ê’ — 19êc
a — 5ê’c -f 1 5êc’ ) 5a’ + 3 ha — 5êc 2a + — 3c
.Hic &éc
a — oé’C + 15éc’
2° reste . ,
Divisant d’abord 10a3 par 5a’, on a 2a pour quotient. Retranchant le produit du diviseur par 2a, on obtient un premier reste. Divisant la partie affectée de a’ dans ce reste par 5a’, on a pour quotient /> — 3c. Multipliant successivement
DIS POLYNOMES. 33
chaque partie drf diviseur par <*— 3e, et retranchant chaque produit, on trouve pour résultat 0. Donc 2a + b — 3e est le quotient demandé. ' . •
Pour nous rendre compte dWmanjère générale du cas précédent, qui est le plus compliqué de la division, désignons le dividende par A «4 + Ba* + Ca’ + DA -pE, et le diviseur par
[C’est un usage en Algèbre, lorsqu’il doit entrer dans une question un grand nombre de quantités , ri^n désigner d’aboîd un certain nombre par des. lettres différentes; et, pour rte pas trop multiplier le nombre des lettres, de.désigner les^autres par les mêmes lettres accentuées. -i.es accegs se pronon-
cent prime, seconde, /ietve.l • . '
Dans cerf-deux polynômes , chacun des coeffioiens A,B„C,
D, E, A', B', C', désigne l’assemblage de plusieurstermes. Ain«i| Aa^ représente toute la. partie du .dividende affectée de a>, et ainsi des autres.» Cela posé, puisque le plus haut exposant de a. • est 4 dans le dividende et 2 ddhs le diviseur, il doit aussi être égal à 2 dans le quotient, qui est alors de la forme A'V + B"a + C". Pour determmer la partie de ce quotient affectée de la plus haute puissance, on remarque que le produit des deux parties A aJ et A "a\ ne peut éprouver aucune réduction avec les autres produits du diviseur par le quotftnt, et par conséquent doit être égal a la partie $.a'> du -dividende, affectée de la plus haute puissance. Donc réciproquement, si l'on divise Aa4 par AV, én doit avoir la partie A'V du quotient ; cela revient à diviser A par A’ ’ puisque* V divisé par a’ donne a’. Si A et A’ sont eux-mêmes ' des polynqmes composés d’une ou de plusieurs lettres, ou agit sur eu* ainsi qu’il a été dit précédemment, ce qui exige qu’on ordonne d’abord les deux polynômes par rapport à l’une des lettres qui y entrent. Voilà pourquoi nous avons dit plus haut quen écrivant les lerrtu-s affectés d’une même puissance dans une colonne, il faut avoir soin de les ordonner par rapport à une seconde lettre; on lei} ordonnerait même par rapport à une troisième lettre, si plusieurs termes d’une colonne renfermaient un même exposant de la seconde lettre.
La partie A "a* étant obtenue, on multiplie chacune des par- Les du diviseur par A'V, et l’on retranche au fur et à mesure les • . 3
Division
produits partiels qu’on obtient*, ce qui donne un premier reste , sur lequel on opère comme sur le dividende proposé.
Voici deux nouveaux exemples. du cas' qui nous occupe. (On a eu sgin d’y joindre les divisions partielles que nécessite l’opé-
ration principale.)
# Première division partielle.
125’ — 295e+18cv’ *
) 35 — Se
Deuxième division partielle. • 1553 + 15æb .* y J. y
la’ + 45
DES POLYNOMES.
Première division partielle.
Deuxième division partielle.
troisième division partielle.
Quatrième diiisioh partielle.
30. II existe un autre cas assez important dans la division algébrique ; cett celui où le polynôme dividende contient une ou plusieurs lettres qui ne renferme pas le diviseur. On pourrait ordonner les deux polynômes par rapport à l’une des lettres communes et faire la division comme à l'ordinaire. Mais il y a un moyen beaucoup plus simple d'obtenir le quotient.
Supposons , par-exemple , que le dividende contienne diverses puissances de, la lettre a , et que cette lettre n’entre pas dans le diviseur (on dit alors que celui-ci est indépendant de a). En ordonnant le dividende par rapport à a, on peut le mettre sous la forme Aa'i + Ba3+ Ca’ + Da + E , 4 étant supposé le plus haut exposant de a dans èe polynôme; A, B, C, D, E, sont des monomes ou polynômes qui ne renferment pas a. Soit d’ailleurs M le polynôme diviseur, indépendant de a. ,
Cela posé, puisque le diviseur multiplié par le quotient doit reproduire le dividende, et que le diviseur M ne contient pas a, il est clair que lé quotient doit, être un polynôme affecté des mêmes puissances de ia lettre a, que celles qui se trouvent dans
IHVISION
le dividende. Ainsi ce quotient est nécessairement de la forme A'a!i + IÎ'o3 + G'rt’ + D'^r+E'. Or, si l’on conçoit qjie ce quotient soit trouve, et qu'on ait multiplié successivement le diviseur tout entier par chacune des’parties AVqJVa3, C'a’. , . les produits seront A'Ma'i, Jî'Jla3, C'Ma’ . . . . , et comme ils ne peuvent éprouver entre eux aucune réduction , puisque la lettre •ordonnatrice y est affectée d'un' exposant différent, ils doivent être respectivement égaux aux termes Aa4, I3a3, Ca’ . . . ., du diyidcnde.
Ainsi l’on a , . •
d’où
