De là on peut conclure la méthode suivante

Pour reconnaître si une équation X = 0 renferme des racines égales, forme: Y ou le polynôme dérivé de X ; puis cherchez (n°246) le plus grand commun diviseur relatif entre X et Y; si vous n’en trouvez pas , l’équation n’a pas de racines égales ou de facteurs égaux.

Si vous en trouvez un , et que ce commun diviseur D soit du premier degré , ou de la forme x — h , posez x — h = 0 , d’où x = h ; vous pouvez alors conclure, que l’éguation a deux racines égales à h, et n’a gu’ une seule espèce de racines égales, dont vous pouvez la débarrasser en divisant X par ( x — h)*.

Si D est du second degré en x , résolvez l’éguation D = 0 ; il peut arriver deux cas : ou les deux racines sont égales , ou elles sont inégales. 1° Si vous trouvez D = (a; — h)1, vous pouvez conclure que l’éguation a trois racines égales à h , et n’admet gu’ une seule espèce de racines égales , dont vous pouvez la débarrasser en divisant X par (x — h)3 ; 2° si D est de la forme (x — h ) (ai — A'), c’est que la proposée a deux racines égales à h, et deux racines égales a h', dont on la débarrasse en divisant X par ( x — h)1 ( x — A')’, on par D’.

Supposons maintenant que D soit d’un degré quelconque ; il faut, pour connaître les espèces de racines égales, et le nombre des racines de chaque espèce , résoudre complètement l’éguation