Appliquons cette méthode à quelques exemples

On demande si V équation 2x4 — 12x3 4 lO.c5 — 6,r 4 9= 0, a des racines égales.

On a (n° 262), pour le polynôme dérivé ,

Or, en cherchant (n°2159) le plus grand commun diviseur relatif entre ces deux polynômes , on trouve D = x — 3=0, d’où x = 3 ; la proposée a donc deux racines égales à 3.

Divisant son premier membre par [x — 3)% on obtient

2xa -pl = 0; d'où x = ± ^ j/ — 2.

Ainsi l’équation est complètement résolue et a pour racines ,

8, 3, + \y =T, et -

Soit, pour second exemple, xs — 2x4 4 Sx3 — 7x’ 4 0x — 3= 0 ; on a, pour le polynôme dérivé, 5*4 — 8x3 4 9x3- — 1 4x4 8,

et pour commun diviseur,... x’ — 2x4 1 ou (x — 1)’;

donc la proposée a trois racines égales à 1*.

Divisant son premier membre par (x — l)3 ou par

x3 - — 3xa 4 8x — 1, on trouve pour quotient ,

x’ 4 x 4 3 = 0 ; d ou x = ;

l'équation est donc encore complètement résolue.

Soit la nouvelle équation

x74Sx646x5 — 6x4 — 15x3 — r Sx1 48x44 = 0; le polynôme dérivé est

■ 7x6 + &0x5 430x4 — 24x3 — 48x3 — 6x48; et l’on trouve pour commun diviseur,

L’équation x4 4 3x3 4 xa — 3x — 2 0 , ne peut pas être

THEORIE

immédiatement résolue; mais en y appliquant la méthode des racines égales, c’est-à-dire en recherchant le p. g. commun diviseur entre le premier membre et son polynôme dérivé ,

4x3 + 9x’ + 2x — §, on trouve pour commun diviseur, x + 1 ; ce qui prouve que x + l entre au carré dans x1* + 2x3 + x' — 3x — 2, et au cube dans le premier membre de la proposée.

Si l’on divise x4 + 3x3 + x’ — 3x — 2 par (x+ l)1 ou x2 + 2x + 1 , il vient pour quotient, x7 -4- x — 2 , polynôme qui , égalé à zéro, donne les deux racines x — 1, x — — 2 , ou les deux facteurs x — 1 et x+2. On a donc

xi + Zx' + x’ — 3x — 2 = (x + l)> (x — 1) (a? + 2).

Ainsi , le premier membre de la proposée est de la forme

ou bien , en d’autres termes , l’équation a trois racines égales à — 1, deux égales à 1, et deux égales à — 2.

Voici de nouvelles applications :

1« xi — 7x6 + 10x5 + 22x4 — 43x3 — 35xa + 48x + 36 = 0 ,

(x — 2)’ (x — zy {x + l)3 = 0 ;

2° x~> 3xf + \9xs — 19^4 + 27x3 — 33xa + 27x — 9 = 0;

280. Lorsqu’en appliquant la méthode précédente , on obtient une équation D = 0 d’un degré supérieur au second , comme cette équation peut elle-même être soumise à la méthode , on parvient souvent ainsi à opérer la décomposition de D = 0 en , ses facteurs ; et l’on connaît par ce moyen les différentes espèces de racines égales de l’équation X — 0, ainsi que le nombre des racines de chaque espece. Quant aux racines simples de X = 0, on commence par dégager cette équation des facteurs égaux qu’elle renferme; et l’équation résultante, étant résolue, fait connaître ces racines simples.

Les racines égales de X = 0 ne peuvent pas toujours être découvertes immédiatement : c’est ce qui arrive , par'exemple , lorsque D n’a que des racines simples et surpasse le second degré , auquel cas chacune de ces racines entre deux fois dans la proposée-; et l'on ne peut les obtenir quen résolvant

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