DES RACINES ÉGALES

l’équation D=0 d’après des méthodes que nous exposerons ultérieurement.

281.' Mais pour ne rien laisser à désirer sur cette matière, nous allons faire voir que, quelle que toit l’équation proposée , si elle a des racines égales , on peut toujours faire dépendre sa résolution de celle d’une suite d’équations dont Ja,première n’admet que les racines simples de la proposée , une seconde les racines doubles (c’est-à-dire les racines qui y entrent deux fois), une troisième les racines triples , etc.

En effet , soit X = 0 l’équation proposée , et désignons par X' le produit des facteurs du premier degré qui correspondent aux racines simples ; par X" le produit des facteurs du premier degré, correspondant aux racines doubles; par X'", X,v. ... le produit des facteurs correspondant aux racines triples , quadruples .... ; en sorte que l'on ait

X = X'.X"*.X,"3.X,',4.Xt5. . .;

il résulte de ce qui a été dit n° 277, que le plus grand commun diviseur entre X et son polynôme dérivé , Y, est de la forme

puisque les facteurs égaux de la proposée doivent entrer dans D à une puissance moindre d’une unité que dans la proposée.

Cela posé , opérons, sur D comme nous avons opéré sur X ; et désignons par D' le plus grand commun diviseur qui existe entre D et son polynôme dérivé. On a

D' = X"'.X‘”.Xl3...

On trouverait de même , en opérant sur D' Comme on a opéré sur D et X , >

(Nous supposerons, pour fixer les idées, que 5 soit le plus grand nombre de fois qu’une même racine entre dans l’équation proposée , c’est-à-dire que l’équation D'" = 0 n’ait que des racines simples.)

Actuellement , si l’on divise successivement X par D , D par D', D'par D", D"par D"', et qu’on désigne respectivement