TI1É0RII

par Q, Q', Q", Q'", les quotiens obtenus, on pourra former le tableau suivant :

X = X'X">X",3X‘^XvS D = X"X'"1X,r5X'r4 D' = X'»'X,”Xv3 D" = X,TX”

X'X"X'"X>vX'' ;

i rj

|Q' — X"X"'X'"X'' |q, I 0" = X'"X'VX'

Y iv

D’où l’on voit que , par le moyen de trois systèmes d’opérations , savoir : une série d’opérations du plus grand commun diviseur et deux séries de divisions , on parvient à isoler successivement les facteurs X', X", X'", X1T, et Xv, qui, égalés séparément à 0, donnent, la première les racines simples , la seconde les racines doubles , etc.

Il est à remarquer d’ailleurs que le degré de X' = 0 exprime le nombre des racines simples de la proposée; le degré de X" = 0, le nombre des racines doubles ; celui de X"' = 0 , le nombre des racines triples, etc.; et la résolution complète de ces équations fait connaitre les différentes espèces de racines doubles , triples , quadruples , etc.

Ainsi la méthode des racines égales n’est pas , en général , une méthode de résolution complète, mais bien une méthode d’abaissement. Ce n’est que dans le cas où les équations X' = 0, X" = 0, X'" = 0,. . . ne sont que du premier ou du second degré, qu’on peut obtenir immédiatement toutes les racines de l’équation proposée.

282. On peut appliquer la théorie des racines égales à la recherche des relations qui doivent exister entre les coeffieiens d’un polynôme en x du second , troisième, . . . degré , pour que ce polynôme soit un carré , un cube, . . . parfait. Il suffit pour cela de former le polynôme dérivé du polynôme proposé , puis d’exprimer (n°277) la condition nécessaire pour que ce polynôme dérivé soit diviseur relatif du polynôme proposé;

DES JIACIKF.S ÉGALES.

Soit, par exemple, le trinôme du second degré ax3 + Ax-f c, dont le polynôme dérivé est 2 ax + A,

2 ax3 + 2Ax + 2c ) 2 ax + A -

Ax •+• 2c j x . + b ‘labx -f 4ac

4ac — A3.

En appliquant à ces deûx polynômes le procédé du plus grand commun diviseur avec ses modifications (n° 239), on trouve pour reste, 4ae — A’; et si l’on suppose 4ac — A’ = 0, ou A’ — 4ac=0, 2ax -f- A sera le plus grand commun diviseur entre a#3 + bx -f- c et son dérivé qui n’est autre chose que 2ax + A lui-même ; ainsi l’on peut regarder ax 3 + bx -J- c comme le carré de 2ax + A, à un facteur quelconque près, indépendant de x.

On a vu en effet ( n° 112) que A3 — 4ae = 0 est la condition nécessaire et suffisante pour qu’un trinôme du second degré soit un carré parfait.

Soit encore le polynôme ax 3 + Ax3 + ex -+• d,

dont le dérivé est 3 ax'1 + 2 bx + c ;

en cherchant leur plus grand commun diviseur, on trouve pour reste, (Bac — 2A3)x + 9arZ — Ac. Or , si l’on écrit que ce reste est nul , on établit la condition que 3 ax3 + 2Ax + c est commun diviseur entre le polynôme et son dérivé ; mais ce reste doit être nul, quelle que soit la valeur de x ; ainsi (n° 180), on a séparément

Bac — 2A3 = 0, 9 ad — Ac = 0.

En effet, la première do ces deux conditions donne c = ~ , bc A3

et la seconde, ds= ~ = — — ; d’où, substituant dans le poly- 9a 27a3’ 1 J

nome proposé ,

ax3+Ax3+cx+d=a( x3+ -x3+ — x + ) = a ( x + ) .

\ a 3a3 27a3/ \ oa/

Même raisonnement pour les polynômes du 46, S”, . . . degré.

N. B. Les deux relations , Bac — 2A™ == 0 , 9 ad — Ac — 0 , entraînent nécessairement la condition que le dérivé. ... é . .