AUTRES APPLICATIONS
?>ax7 + 24 j + c soit un carré parfait ; car si les deux facteurs du 1er degré en x, dont il se compose , pouvaient être inégaux , comme , d’après la théorie , ces facteurs devraient se trouver à • la 2m* puissance dans le polynôme proposé , il faudrait alors que celui-ci fût au moins du 4"e degré , tandis qu’il n’est que du 3mo.
Et en elfet , la' condition pour que 3axa + 2 bx 4- c soit un carré parfait , est , comme on l’a vu tout à l’heure,
(2 b)7 — 4.3ae = 0, ou 4’ — 3ae=0;
et celte relation rentre dans la première des deux relations cidessus. '
283. Le procédé du plus grand commun diviseur sert encore, dans d’autres cas , à abaisser le degré d’une équation tel est celui où l’on donne d’avance une certaine relation entre deux des racines de l'équation proposée.
Soit , pour fixer les idées , l’équation générale’
xm + I>x"’- i + Qa-m-aq. pTV + U=0.... (1), •
et supposons qu’entre deux des racines a et 4, l’on ait la relation 4 = ka + h ( k et h étant des nombres connus et donnés à priori ).
Puisque l’équation (1) doit être satisfaite par les deux quantités a et ka + h , il s’ensuit que , si l’on met dans cette équa tion , kx+h à la place de x , ce qui donne la nouvelle équation
(Ax4-7i)m4-P(4x4-4)'"— i q- . . . 4- T (4x4- 4) 4- U = 0 — (2),
les équations (1) et (2) doivent être satisfaites par une même valeur a; donc (n° 237) il doit exister un commun diviseur relatif entre les deux premiers membres.
Ainsi, en appliquant à ces deux polynômes le procédé du plus grand commun diviseur relatif, et égalant à 0 le diviseUr obtenu, on en tirera la valeur de la racine a. Cette valeur, substituée dans la relation 4 — ka + h, fera connaître la valeur correspondante de 4.
Si ce commun diviseur es( du premier degré en x, on peut conclure que deux racines seulement de l’équation ont entre elles la relation donnée. Si ce diviseur est du second degré ,
DU PLUS GIUXD CUSMUtl DIVISEUR.
c’est qu’il existe deux couples de racines qui jouissent de cette propriété; et leur détermination ne présente encore aucune difficulté. Après quoi, l’on pourra diviser Je premier membre de la proposée par chacun des facteurs du premier degré qui correspondent aux racines obtenues.
En général , soit D le commun diviseur auquel on est parvenu. La résolution de l’équation proposée ne' dépend plus que de la résolution de l’équation qu’on obtient en divisant le premier membre de la proposée par chacun des facteurs du premier degré qui correspondent aux racines de D = 0, et à celles qu’on a déduites de la relation b — ka + h.
Soit , pour exemple , l’équation
x1» — 12-r3 + AQx2 — 71 jt + 30 = 0. . . . (1),
dont nous supposerons que deux des racines a et b sont liées par la relation 4 = 2a + 1.
En mettant 2# + 1 pour x dans la proposée , et développant les calculs , on obtient , toute réduction faite ,
8j;4 — 32;e3 -f 36-r3 — Ix — 2 = 0.
Appliquant aux premiers membres de cette équation et de la proposée le procédé du plus grand commun diviseur, on parvient au diviseur relatif x — 2 ; ce qui donne
x — 2 = 0; d’où x = 2 , ou a — 2.
Cette valeur de a,, substituée dans la relation 4 = 2a -f 1, donne ensuite 4 = 5.
Le premier membre de la proposée est donc divisible par ~ (x — 2) (x — 5) ou x 2 — 7z+10; et en effectuant cette division , on a pour quotient
x 2 — 5x + 3=0, d’où x=^±^|/!3.
Jt 2
L’équation proposée se trouve donc ainsi complètement ré- • ■solue. ' .. '
284. On peut déduire , comme cas particulier de l’analyse précédente , le principe fondamental de la théorie des racines égales, [y oyez n° 276.),
DES ÉQUATIONS RÉCIPROQUES
Soit fait h — 0 dans la relation 6 = ha + A ; elle devient h = ka, et l’équation (2) du n° 283 se réduit à
hm . xm + PA'"— ’xm— ' + . . . . + TA . x + U = 0.
Mais comme on doit avoir pour la même valeur de x, x” + Px’”-' + Qxm-* + ....+ Tx + U = 0 , -
on peut substituer à l’une de ces équations le résultat de leur soustraction , ce qui donne
(Am — 1 )x"‘! + P(Am-< — l)xm-I + + T {A — l)x = 0;
ou bien, observant que (A — l)x divise tous les termes de celleci, et effectuant alors cette division ,
(A™-» +A'"-»+... + A-H)xm— I+P(Am-» + Am— 3+... + A+l)x,«-a + Q(A">— 3-t-A'”-4+. . .-f A+l)xm-3-|-.. .' + T=0.
Actuellement , si , outre l’hypothèse de A = 0 , on suppose A = 1 , ce qui revient à dire que deux des racines A et a sont égales , l’équation précédente devient
mxm— 1 + P(»i — l)xm— 1 + Q (ira — 2)xm— 3 + . . . + T = 0 ,
équation dont le premier membre doit avoir un diviseur relatif commun avec celui de la proposée.
Mais mxm~ 1 + ( m — 1) Pxm’ +....+ T n’ést autre chose (n° 262) que le polvnome dérivé du premier membre de la proposée xm + Pxm— 1 +. . '.+ Tx + U=0; donc enfin, dans le cas où cette dernière équation a des racines égales , il doit exitter un commun diviseur entre le premier 7iiembre de cette équation et son polynôme dérivé {*).
Des équations réciproques.
285. Parmi les équations susceptibles d'abaissement, on distingue particulièrement les équations dites réciproques : ce sont
celles qui restent les mêmes lorsqu’on y change x en -.
* (*) Ce mode de démonstration du principe de la théorie îles racines égales <*st du à M; Poinsot. * ' » • *
DES ÉQUATIONS RÉCIPROQUES
Ainsi , par exemple, toute équation de la forme
xm + pxm~l + qx + ....+ qx 1 + px + 1 = 0 ,
c’est-à-dire telle que les coeffieiens des termes à égale distance des extrêmes soient égaux entre eux , est une équation réciproque; car si l’on y remplace x par - , elle devient
xm xm —
xm — * X* X
d’où , en multipliant par xm, et renversant l’ordre des termes, xm + px"‘—' + qx™—* + ....+ qx* + px + 1 — 0 ,
équation identique avec la proposée.
La dénomination de réciproques, donnée à ces équations,
vient de ce que, si l’on suppose a racine, nécessairement * est
aussi racine de la même équation.
Afin de pouvoir assigner la forme générale des équations réciproques, nous considérerons successivement le cas où l’équation est de degré impair , et celui où elle est de degré pair.
Premier cas. Soit une équation quelconque de degré impair, x™+ 1 + px »» + qx™— 1 + . . . . + sx1 + tx + k = 0. .. (1).
Pour que cette équation soit réciproque , il faut , d’après la définition, qu’elle reste la même lorsqu’on ÿ remplace x par
Effectuons cette substitution ; il vient
1 va st „
rfin X™— I X 1 X
d’où, multipliant par xn -P* , divisant u, et renversant l’ordre des termes , . , ,
Or, pour que les équations (1) et (2) soient identiques entre elles, il faut que les coeffieiens des mêmes puissances de x soient égaux , c’est-à-dire que l’on ait les relations
DES ÉQUATIONS RÉCIPKOQCES.
On déduit de la dernière , = 1 , d’où u — ± 1 ; et si l’on
prend d’abord la valeur u = + 1 , il en résulte
prenant ensuite la valeur u — — 1 , on trouve
d’où l’on voit qu’une équation de degré impair est réciproque quand les coefficiens des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe , ou bien égaux et de signes contraires (elle ne peut d’ailleurs être réciproque que dans l’un de ces deux cas ).
Second cas. Soit une équation quelconque de degré pair, xm+pxln— l+qx2n— *+ . ..+rxn+ . . . +sx*+tx+u=0... (3)î
(Dans ce cas, comme le nombre total des termes est 2n + 1 , le terme rxn est à égale distance des deux extrêmes.).
Remplaçons x par - dans cette équation ; il vient
d’où , multipliant par x*n, divisant par u , et renversant l’ordre des termes,
*»"+ - xln~l + *x »*-*+. ..+-*«+. ..+?xa + -x+-=0... (4):
or, pour que les équations (3) et (4) soient identiques entre elles , il faut que l’on ait les relations
La dernière revient à ua= 1, d’où u= dt 1.
Cela posé, pour la première valeur u= + 1 , on trouve
et pour la seconde u =- — 1 ,
égalités dont celle du milieu , r= — r, ne peut exister à moins qu’on ne suppose r = 0.
Dk
DES ÉQ0ATI01VS RÉCIPROQUES.
Donc , toute équation de degré pair est réciproque toutes les fois, 1° que les coejjiciens des lertnes à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe ; 2° que, le terme du milieu manquant dans l’équation , les coejjiciens des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de signes contraires. (L’une ou l’autre de ces deux conditions est d'ailleurs nécessaire.)
286. Passons actuellement à la résolution de ces sortes d’équations ; et supposons d'abord qu’il s’agisse d’une équation de degré pair, telle que les coefficiens des termes à égale distance des extrêmes soient égaux et de tnême signe.
Nous prendrons, pour fixer les idées, une équation du 8° degré ; mais on reconnaîtra aisément que la même méthode s’appliquerait à toute autre équation satisfaisant à l’hypothèse établie.
Soit donc l’équation
a:8 ■+• px 7 + qx6 + rx5 -f ex i + rx 8 + qx 1 + px + 1 = 0... (1) ;
et posons, dans cette équation , x H — = r. . . (2),
[On est conduit à cette transformation par la remarque suivante : puisque les racines sont réciproques deux à deux, il
s’ensuit que l’on connaît les produits ax*, è x î , cX-,
des racines réciproques (chacun de ces produits est égal à 1 );
il suffirait donc (n° 114), pour obtenir les deux racines a et -,
ou b et , . . . , de connaître les sommes a + - , b 4- | ou.
ce qui revient au même, les valeurs de la fonction x + - .1
Cela posé, si l’on divise l’équation (1) par x4, et qu’on rassemble les termes affectés des mêmes coefficiens , il vient
*4 + À + r(it3 + i5) +l(x7 + ^+P (*+ 1) = ° . (3) ;
la difficulté est ainsi réduite à exprimer en fonction de z les l , 1 ' 1
quantités x1 + —,xs+— xi+—,
’ X* X3 xi
des Equations kecipro^ces.
Or on a , en générai ,
(xm+*-\ (x+ — -I— -f a-™- H — -1— ,
équation d’où l’on déduit, en y remplaçant# + ~ par z,
xm+l H î — — (xm + — z — ( xm 1 4- • — - — \ ,
xm+n y xmJ ^ xm — i /
formule qui donne l’expression xm+' + au moyen des
deux expressions semblables de degrés immédiatement inférieurs , m et ?n — 1 .
Soit fait successivement m= 1,2, 3, 4, S, . . on trouve i
ainsi de suite à l’infini.
En un mot, ces expressions forment (n° 188) , à partir de
+ — , une série récurrente du second ordre , dotit l’échelle x 1
de relation est (z — 1).
11 ne s’agit plus maintenant que de substituer dans l’équation
(3), à la place de x5 H — - , x3 d — ^ les valeurs qu’on
vient d’obtenir, ce qui donne pour l’équation résultante, z4 — 4s’ + 2 + r(z3 — 3z) + ç(z’ — 2) 4- pz = G, ou , réduisant et ordonnant par rapport à z ,
z4 -f- rz3 + (j — 4) z3 + (p — 3r) z — 2ç + 2 .,= 0 ,
équation d’un degré sous-double de celui de la proposée.
Donc, la résolution de toute équation de degré pair, telle que
ibyG
Digil
des Equations réciproques. 417
les coefficient des tàrmçt à égaie distance des extrêmes sont égaux et de rnême signe, peut être ramenée à la résolution d’urie équation de degré sous-double. . j ' *- '•
287. Considérons, en second lieu , l’eqtfation de degré irqpair , xln+' q px »" -f qx1" — * -f + qx 1 + px + 1=0,
dans laquelle les coefficiens des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe.
Il est d’abord visible que — 1 est rachle de cette équation , car le premier membre devient , par l’hypothèse x — — 1 ,
donc ce preqiier mcmlfre es> divisible par x +*1.- •
Je dis tlç plus que Je quotient est un polynôme réciproque de degré pair , dont les coéfficlens a égalp,.distance des extrêmes sont égaux et de tnêpie signe . , • •’ :
En effet, on voit bien Clairement que , si, l’on divise
+ px*n + qxln~l. + . . . . \ qx * -f pi + 1 ,-par x + 1 ,
ou J + px •• ••• . çjr>"-«4+ px1" par. J + x,
les coefficiens des tètnnes de mèmé rangjdans les. deux quotfens sontmécessrtirqfhelU éggux (jl suffit d’nillfcurs d’eJ^ectuer les deux divisions' pour s’en convaincre ) ; mqis le fécond qtlotient n’ésî aulrc chose que le premier tAtenq dans un ordrç inverse. Donc il faut nécessairement que leç derniers coefficiens du premier quotient, soieht respectivement égaux aux premiers.
Il résuke de là qu’a [y è s avoir divisé le ptfemier’membre de la proposée pai ï+1, cm obtiendra 'une équation réciproque de degré pair de même firme' (pie çélle'du numéro précédent, et
qu’on résoudra de la liiême manière. • ’ '
288. 11-nous reste encore p considérêr les équations, de degré pair ou-impair, dont les termes à égale distance des extrêmes ont des coefficiens égaux (4 de signes contraires. Soit l’équation
x'" -\-px',n — t + qxm~1 + — qx1 —px — 1=0.
( 11 n’y a point ici de terme du, milieu , puisque , si m est impair,
le nombre total des termes , « + 1, est pair , et si m est pair , le
418 DES ÉQUATIONS RÉCIPROQUES
terme du.milieu doit manquer ( û°‘285*) pour que l’équation soit réciproque.) '■ *
Cela 'posé; il est encore visible que l'équation proposée est satisfaite par.r=+l; donc le premier membre est divisible parjv^-1. • ’
Or sî l’on -divise '
1° xn,+pxm— • • • • • — — px — 1 par 7 — 1 ,
2° — l—px — qx* — . . .. -{-qxm—1+pxr,,—t -\-xrn par — 1 q-x ,
ou , ce qui revient au même ( en changeant les signes ) ,
1 q-prq-jr’-f- — qx”1— » — pxm— 1 — x m pqr 1 — x,
on devra obtenir pour les termes^ de mette rang daijs les deux quotiens , des coefficièns absolument identiques ( ce qu’on peut d’filleyfs aisément vérifier en effectuant lés 'deux divisions).
Donc le, premier quotient est nécessairement .un polynôme dont les termes à égale distance des extrêmes ont des coefficient égaux et de même signe',, ainsi ce pôlynome rentre dans l’un des deux Cas préêédemnient examinés. ♦
N. JS. Dans l’hypothèse qui nous océupe'actiléllement , si J’on suppose que m soit 'pair, comme' èn divisaffit'-le premier membre de la proposée par x — -1 , oé obtient un quotient de degré ifnpeâr dont les coepîcîens sont égaux et*de mêjtie signe, ce’qhotient. est lui-même divisible par af-pl (n°287). Ainsi le; premier membre
de la proposée ‘est divisible par (x-*-l) (adj-l) ou'x1 — 1 fetle quotient est un'polyncmie dô^degre pair qui rentre dans la classe de ceux déjà, traités u“ 286. . ■
289. En résumant tout ce qui yient.d’|trq dit, oh-\oit 1° que, si Y équation réciproque proposée- eslYle degré pair , et que les coeffciens des ternies à ■ égale distance àes'cxtrêmes soient égaux et de même signe, sa résolution pçut être .£ n° 286 ) ramenée à celle d’une équation de degré ious-doublê ;
2® Que, si Y équation est de degré impair , les caeffictens à égale distance des extrêmes étant égaux et de même signe , le premier membre est divisible' par 1 ( n° 287 J; et cette division étant effectuée , -l’équation résultante peut être ramenée à une équation d’un degré sout-douhie }
DIS ÉCLATIONS RÉCIPROQUES. 419
3° Que, si V équation etl de degré impair, le» coefficient à, égale dietance de» extrême* étant égaux et de signet contraire», le premier membre est divisible par x — 1 (n° 288 J; et la division étant effectuée, on parvient é une équation susceptible d’être abaissée à un degré tout- double ; ' .
4° Que, si Y équation est de degré pair, les coefficient des termes prisa, égale distance de» extrêmes (tant égaux et de signes contraire», le premier membre est divisible par x » — 1 (N. B. n° 288) ; et si l’on effectue la division, l’équation qui en résulte peut être elle-même abaissée à un degré sous-double, '
290. Applications. Soit l’équation générale à deux termes x1” — 1=0; cette équation a évidemment 1 pour racine; et en effectuant la division par x —1 , on trouve ( n° 81 ) pour quotient,
ar/n l+;rm,+iOT 3+ pi««+x+l==t),
équation réciproque de degré pair ou impair, dont la résolution peut , au mdyen des principes précêdens , être ramenée à la résolution d’une équation-dé degré plus .simple* , 1
Soit, par exemple, l’équation xs — 1=0; on a , en divisant par x, — 1, ».
xê+x\+x*+x+ 1=0,
équation que l’On peut mettre sou$ la forme'
;xJ+— +xi|- +1=0.
Posorts x+- = s, d’où x3 — zx, -f-l = 0; il en résulte
■r* + 2 + — ' , OU x3 + — = *’ — 2.
Reportant ces valeurs de x + - et de x2 + i dans l’équation ,
** JL-** -
• - ; xri
l’on obtient z » — S + r.+ i—O,' ' i
ou , réduisant* z3 + z — 1=0: • v
donc z = —
