THÉORIE UES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

D’ailleurs, l'équation x^-^-

z.r +l = 0 donne

donc, en ‘substituant à la place de r ses deux valeurs, on -a, tonte. réduction faite, ‘ >

x=—] ±'î- ^Bi^l/IôïïïTs^v^T.

L’équation .rla- — 1=0, peut encore être résolue complètement par }e même moyCn.

En efiffet^ ona 1 ’ , , ,

x"»,— ’ Wx’5 — l)(x*+lj*=0.

On. connaît déjà les racines de l’équation x5 — 1=0;, quant à celles de -l’équation »x^+ 1=0, connue^ par l’échange de x en — x, elle devient x5 — 1=0, on voit que tout se réduit à prendfe avec des' signes contraires les racines de’ cette dernière équation. • ' • - , ‘ . . *

§ IV-- TnÉoaiE-DÉS FONCTIONS SYMÉTRIQUES.

Pour compléter l’ensemble des matériaux nécessaires à la résolution sdes équation,» d’un degré quelconque, il nous reste à exposer unedes théories lesqdus curieuses étalés plus importantes de l’Analyse c’est la- théorie des fonctions symétriques. Le célèbre Lagrange- en a fait la base d’jine itiéthode pour résoudre les équations du troisième et du quatrième degré.

(Les oandjdQts pour l)ÉCole Polytechnique peuvent ,,'sans inconvénient, passer ce’ paragraphe, que nous n’avons placé ici que pour nous conformer à la marché' cjqp nous nous sommes tracée.) . . ’ . . - .

291, On appelle fonction symétrique des racines d’une équation, toute expression algébrique qui renferme ces racines ,' combinées de la même manière, soit entre elles, soit avec d’autres quantités. Ainsi, la somme a+i+c-f- . . . . + »■+■/ des racines d’une équation, la somme ab + ac+ ad+ . . .+il, de leurs produits deux à deiix, la somme abc-\-abd-\- ... de leurs produits trois à trois..., sont dites des fonctions symétriques des racines.

SOMMATION DES rEISSANCES SEMBLABLES. 421

Le caractère distinctif d’une fonction symétrique de diverses quantités est , qu 'elle corne rte la, même valeur numérique , quelque permulatibn que Von fasse subir h ces, quantités.

Nous avons déjà vu ( n" 242 ) que P , Q , R /. . . . . T, U , étant les coefliciens d’une» équation , on a,1 entre1 les racines et les coèfficiens , les relations a + i + c + .....'== — P'. .... ’ ab+ac-\-ad+ . . .= Q ... . . , abcd. . .==:£: U ; nous allons voir maintenant que toute fonction synlctrique rationnelle de ces mêmes racines, peut être exprimée également au moyen des coefifieiens de-réquation. , * •’

292. Sommes des puissances semblables des racines fane équation.

Les plus simples des fonctions symétriques, celles au moyen desquelles on peut , comme nous le verrons , former toutes les autres , sont les sommes des puissances semblables des racines ;

telles que a + à + c4-d+ , «’ + è’ + c’ + d1 + • ‘ ,.et,

en général, a’'+bn + cn + d"+ ...., n étant un nombre entier quelconque. • .

Or je dis que v sans connaître les, çâcjnes , il pst possible d’exprimer les sommes de leurs puissances semblables àu moyen des j

coefliciens P, Q, R , . . . qüi sont dés quantités connues.

Soit en effet + i + Q.r'” — a + R,rm— 3. . . + T-r+RJ — 0 ,

l’équation proposée ; et désignons ses racines par" a, b, b,d...

Si l’on divise successivement lè «premier .membre par ofiacun des m facteurs du premier degré , x — a, x — b,x — e,...,on obtiendra (n° 238) , pour les îlifféfens quotiens , •

xm — 1 + ® • I

xm~ ?-p-o3

xmr~b p. .... q. am— i

+ Pa

+ Pa*

\ « +Pam— »

-J-Qam — 3

+ Ra"'"— 4

xm — 1 -f* b

xm~

•* +Pi’

+ Pè"'— a

+ Qè<n-3

422 SOMATION DES PUISSANCES SEIBLABLES

et ainsi 'de suite pour chacun des facteurs x — c, x — d. . . .

Maintenant, si l’on fait la somme de ces m quotiens, et que l’on pose , pour plus de simplicité ,

•. • =Si ,

am-i+bm-l + cm-l +. . . . ^

on obtient évidemment ponr cette somme,

: Sm — i ,

tnxm—'+Sl Iï™- *+Sa

xm— 3-pS3

+«?*pL 4- PS,

•’ +PSa

+otQ

■HJSi

+mR.

4+. . . + Sm—i C

+ PSm — 3

+ QSm — 3 + RSm— 4 + ••••'

+mT.

D’un autre côté, l’on a vu (n° 264) que Y, ou le polynôme

dérivé du premier membre 'de la proposée , représente aussi la somme' des tn quotiens de la division de X par x — a, x — b, x — c. or on a (n° 262)

Y=mxf—1 4* (*i-1)Px*"t*+ (m-2)Q.rm— 3 + (wi-3)Rj,n— * . + T.

Donc ,jen comparant terme à terme ces deux expressions identiquet de la somme des m quotiens , on obtient les relations

Si+»nP = (7M — 1)P, ou simplifiant, St+.P=0;

Sa + PS, + mQ = (»*— 2)Q, ou bien, Sa + PS,+2Q=0.j S3 + PSi + QSi-H«iR=(ot— S)R, ou S3 + PS» + QS, + 3R = 0;

Mi

+ PSm — 3+ . • • • + wT T,

OU Sm — x 4* PSm — a + QStp— 3*4" t • . + — 1) T 0*

La première formule donne d’abord la- valeur de Si en fonction de P ; la seconde donne ensuite S, en fonction de P, Q , et de Si; ainsi de suite; enfin, la dernière fait connaître Sm— ■ au moyen de P, (J, R,. . .T, et de Sm— a , Sm— 3 . . . , qui sont censés connus d’après les relations précédentes.

DES BACISES d’cNS ÉQIATIOS. 4 '!■)

Pour étendre .cos formules au cas.d’unë puissance quelconque, reprenons l’équation proposée, et remplaçons x pan chacune des racines a, b, c, d. . . ; oh a les égalités

am + Pa'"— ‘ -f Qa'"~ » + . . . • + Ta+U.= 0 , b” + P4"> - 1 + Q » + . . . . +T4 +U==0,.

Multipliant toutes ces’égalUés respectivement para", ùt1,»;". . . et ajoutant les produits terme à terme,* ou obtient, d’après les notations convenues,

S,n— J-,, + PSm-a-n — i + QS’a+b-^ï + • • • • +TS*-(-i + USn 0.

Cela posé, voici l’usage de cette formule :

Soit n =0, d’où Sn = So = a0 + £0+c0+ . . elle devient

S m + PSot — i + QS/b — a + . • . + TS, -fmU == 0.

Cette dérnière formule se lie immédiatement avec la dernière des formules obtenues ci-dessus.

Soit fait ensuite n — 1, 2, 3, -4, 5. . . ; on trouve

Sbi-*-! d- PS,,, -f-QSm-i + •»*• + TSa + US i =0 ,

' Sai-f-a + PSbi+i + QSbi + • • • • + TS3 -KCSi == 0 ,

SbH-3 + PSm4-a + QSbi-H + •••• + TS4 d” LS3=0 ,

Il est facile de reconnaître, d’après l’inspection de ces formules , que leB sommes des m premières puissances étant formées , les suivantes forment (n° 184) une série répurrente dont l’échelle

de relation est l’ensemble deS rn coefficiens P, Q, R T, U,

de la' proposée , pris en signes contraires. ‘

La formule,SB,+B + PSn,-Hn i + . peut donner également les sommes des puissances entières et négatives. En effet, soit d’abord n— 1 ; il en résulte

Sm— -I+PSro— a +•••• +TS0 + US—1 =0 , équation d’ou l’on peut tirer la valeur de S 1 en fonction de Sm — , , Sut — a , • . • S, , So , qui sont censés connus.

424 APPLICATIONS

Soit encore n = - — %n = — 3. . .ç on obtiendra de nouvelles formules qui donneront S a en ffmfctroiï de S»,—» , Sm^-3,.. . . S0 , S— i . . . , puis'S 3 en fonction de Sm—3 , S'm— 4 , . . . S i , S—2 ; et ainsi de suite, i* ’ 1 . • ■

Concluons de,là qu’une équation quelconque étant donnée, on peut toujours , sans’connaître 'soi racine» , obtenir le»t somme» de leurs puissances semblables, le degré de la puissance étant un nombre entier quelconque , positif ou négqtif.

Soil j pour exemple , l’équation. " „•

jJ+j:3 — 7x* — a: +6=0. , *

On a pour cette équation particulière,

P=*=l| Q=^7, T = -l, U = 6; ce qui donne

Sa=— PS,— 2Q=1 4- 14=18,

S3=-tPSj-lQS,=3JT=— 4$— 7 4- 3=— 19,

S4=-PS3— QSa— ÏS,-4Ü=19+ 103—1—24=99,

S5=— PS4— QS3— TSa— US,=— 99— 133+ 15+6=— 21 1, Ss=-PS5— QS4— TS3— ÜSa=211 +693— 19— 90=793 ,

c — Ss-PS,— QS.-TS. 19-13-7+4 * 1

, -S,— PS, -QSo-TS- +28+ 6

Ces valeurs peuvent être aisément vérifiées, car l’éguation a été formée par la mullipücatioh des facteurs x — 1 , x + 1 , x — 2 , x + 3 ; ce qui donne + 1 , — 1 , +2 , et — 3 , pour les quatre racines. v « ' . .

Considérons maintenant d’autres espèces de foliotions symétriques. - . ,