On distingue les fonctions symétriques rationnelles et

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ÊVAIBATIOR B’cSE FOXCTIOS SYMÉTRIQUE QBELCOSQBI. 425

entières de» racines d’une équation, en fonctipns symétriques à une lettre, à deux lettres, à trois le tiret , etc.

Les fonctions symétriques à une lettre- sont celles dont chaque terme ne renfemîe qu’uns racine j'tellé est la fonction o" Jrbn^-cn que nous savons déjà (u°*292)' exprimer uu Uioyerr des eoefficiens de l’équation. • t . ' • .

Lès fonctions à deux lettres sont celles dont qjiaqye terme renferme deux racines ; telle est la fonction anbi’ 4- a" cl + b"afi +V$3p -£*. . , . , dont il est aisé de concevoir la' formàtion en prenanb^ous les arrangemens deux a deux des m racines, et en affeptant les deux lettres de cha'que .produit , des exposans respectifs n et p, d’où il suit’que le nombre 'total des termes de cette fonction qst (h0,l46) égal à, wi(m— 1). ' • . ‘ ’ 'y..*

Les fonctions à trois lettres sont celles dont chaque terme renferme trois racines ; telle est la fonction anbPc.'j,-¥ ancPd;i bnaPc,t + ..... que l’on obtient en formant tous lès arrangemens trois à trois » des m racines , et affectant les trois Jet très de chaque produit , des- exposons respectifs n$p, q ; ainsi Je nombre total des termes est marqjié .par m (»»-■— 1) Çm V’2);‘ et ainsi, de suite. ’ -,

Comme, ua terme quelconque d'une fonction syirîétrlqué à plusieurs lettres étant -écrit, on peut obtenir tous les .autres en substituant à l’arrangement des Jettres jqui, entrent dans ce terme , les autres arrangemens dont les*/» lettres sont susoeptibles, et en conservant aux exposans .Ja> même ordre, dn esPoonvpnu , pour abréger , dé représenter lej fonctipns à une , deux , trois. .. lettres,, de cette njanière : T-.a", rH.h’,b/’, '£.a"li’c/. . . . ; c’est.-à-dire que l’pn place en,àvant de l’un dps termds de la fonction la lettre T j et ces notations équivalent à àa +^"+c" + . . . , anbr +aneP + ... ,a'<brc'/’+ ànbpf) + . .*.

Les fonctions dont npus "venons de parler sont dites les fonctions symétriques élémentaires^ . ’ " ' * '

On peut conedvoir ensuite que tous les tprmefe* d’une même fonction soient affectés de coefliciens ; mais, poyr que la fonction soit symétrique, il faut que tous ces cocffiôiens soient égaux; et alors on peut mettre ce coefficient en facteur commun.

C’est ainsi que l’expression 4a3èa + 4a3c, + 443»:l + . . ., que l’on suppose symétrique on a, b, c..., peut se mettre sous la forme 4(o3iJ + a3eJ + 43«2-f . . .), ou 4T.a3èa.