ÉVALUATION
EnCn un polynôme symétrique en a, b, c... peut être composé de la réunion , par addition ou soustraction , de plusieurs fonctions symétriques élémentaires ; auquel cas le polynôme proposé es! dit une,fonction symétçiqué«>»yi/e.re, en ce qu’e|le renferme plusieurs fonctions de la forme T. a", T .anbp, T.a/'bnc'i . . mais Yévalualion d’une fonction symétrique complexe est évidemment ramenée à pelle de chacune des fonctions élémentaires qui la composent. Passons donc à la détermination de celles-ci.
Évaluation ‘dits fonctions symétriques à deux, trois... lettres.
^ • 294. On a déjà donné (n° 292) des formules pour évaluer leà.
fonctions telles que X, a") qui n’est autre chose que S„. Cherchons
à évaluer la fonction à deux lettres T .anbp. Pour cela, multiplions
entre elles les deux expressions
aV+bn+cn+dn-{- . .4. .— T.o'1 ou Sn , «• ’ ,
. aP+bp+cP+dP + = T.aP ou S«.
Le second membre est T. a" xT’.aP, ou S„xSP. Quifnt^au premier membre, il peut* rriver deux cas dans la multiplication i^u lés deux termes du multiplicande et’du multiplicateur ont la mèmb lettre, et dans ce cas le produit partiel est un des ternies de la fonction T .an+P ; ou bien\e% deux termes
ont des lettrés différentes , auquel cas le produit partiel est un termç de [a fonction T. anbp. Comme d’ailleùrs le produit total doit être symétrique, puisque ces deux facteurs-le sont, il s’ensuit que le premier meuib’re'apour expression ,
Ainsi l’cnr adéquation .a,,ê/'=T’.a'1 X T. a/1 ;
d’où l’on déduit f T.a"4/'=T.a'1 X T .oie — T .an-*-P ;
ou , remplaçant ’ * T. aï, T .aPf T par Si, Sp , Sn+P ,
. • T.anbP=^SiSp —7= Sn-+-/> • . • (lj.
Sn, $P, S„+p étant connus , d’après les ftfrmules du u” 292 , celle-ci pourra servir à déterminer toutes 1er fonctions à deux lettres. , ' ", ,
Cas particulier. Si, dans cette formule, on suppose »=p, circons’tjince qui arrive assez souvent , le second membre se réduit à (S„)J — S,n- Pour savoir ce que devient le premier (qui, en apparence, se réduit à T .a"b"), il faut observer que l’on a T.a',bP=a’'bP + a’’cP + andP+ . . . + b"aP + Car + . .
d’vM FOÎICTIOS SYHÊTgiQCE Ql'RLCOKQl'E. 427
op, dans l’hypothèse de n — p, tons les termes de ce polynôme deviennent égaux deux à deux, savoir, a "bp et b"aP,,a"cP et c*aP . . donc T.a"ôP se réduit réellement à 2T .&"£'% c’est-à-dire ♦ au double de la fonction exprimée pàr T. a" 6", et dont le nomljré des tenues n’est plus (n° 293) le .nombre des arrangemen*, màis bien le nombre des combinaisons deux à deux. * .
Donc, en supposant dans la fbrmifle (l); on trouve
= (Sj)’ — S ; d-’où TT’ r™ . . . (2).
Tâchons maintenant d’évaluerlaffonction T.an6/’c'/.
Pour y parvenir, multiplions entre elle» les équations
a"bP + a"cP + a"dr + . . . + b"aP-\-c"aP + . . . = T. a" b/1,
On a d’abord , pour le produit des seconds membres .......
T.a"hP x T. a?; quant aux premiers membres, on doit, obtenir trois espèces de fonctions symétriques pour le prôduit total.
Car, ou la lettre* du terme multiplioateur est semblable a la lettre du terme multiplicande, affectée de Fexposant n ■ auquel cas le produit partiel est un des termes de.la fonction T .a"+7bP'.
Ou la lettre du terme multiplicateur. est semblable à.'la lettre du terme multiplicande , affectée de l’exposant p ; et, dans ce cas, le produit partiel appartient à la fonction T.a nbr+7.
Ou bien, elle est différente des deux lettres. qui entrent dans le terme multiplicande; et alors le produit partiel .est un des termes de la’fonction T .a"bPc7.
Donc enfin, le produit total des deux premiers membres a pour expression, T.an+7bp+T.anbp+7 + Txinbrc7.- .
Ainsi , l’on a pour nouvelle équation ;
T .an+<ibr + T.anbP-*-7+T.anb/’c7 z=T.a"bp x T.a7; d’où l’on déduit ‘ ,
T.anbnc7 — T.a"br x T.a7 — T .w-^/bp — T .a"bP+7 ;
ou, mettant à la place de Ta" bp, Ta"+'ibr, T a"bp+7, leurs valeurs tirées de la formule ( 1 ) , et réduisant ,
T .Unbl’C/:æSnSpS(f S f-;.S y S/i-+^Sy>— Sp+ r]Sn "h •• (3).
428 ‘ ÊVAIBATHW ' ‘
Cas particuliers. la fhipposons/&?ux des trois exposans égaux, p=q, par exemple ; le premier membre se réduit à 2T .anbrcr, •puisque tous les 'tèrrries de la .fonction générale T. a"4/’e'/ sont alors jégnqx deux à deux ;.et la formule (3) devient
T a"brcP — <ZS„+pSp — S„Sy4-2S/,+?/) . . . (4) :
cette nouvelle fôrmuje'servira pour toutes les fonctions à trois lettres dont IeS deux exposans seront égaux.
2° Supposons lès trois exposaps égaux , c’est-à-dire n—p=q; le. premier membre de la formule -(3) se’ réduit à GT . anb',cn, parce que tous les termes (n° 14S) deviennent égaux six h six.
Ainsi cettè formule devient
T .a"b"cP" = ~ 3Sa"S"
■Ou parviendrait à ce même résultat d’après la formule, (4), en obsbrvant que n == p donne T . a"bPcP = &T*.anbncn, parce que tous les termes de T .a"bPçP deviennent égaux trois^ à trois. >
» Pour peu qu’on réfléchisse sur la marche qüi vient d’être suivie, peur évaltier ï1 .a” bp, T .anbPc1', il est aisé de voir ce qu’il faudrait faire pour l’é’valuation des fonctions à quatre lettres , à cinq lettres ,ietc. .]
• ’. ,, * ft. .
298. Nous avons déjà Remarqué (nn 29S) que, toute fonction symétrique* rationnelle et entière des racines d’une équation n’est que le résultat de Ja réunion , par addition ou soustraction , des'fonctions ’f .aï, T .anbP, T .anbPct . . nous sommes donc en
droit de conclure ce théorème , qui est un des plus beaux et des plus importans de l’Analyse algébrique : Toute fonction symétrique rationnelle et entière des racines d’une équation peut , sans que l’on connaisse ses racines , être évaluée au moyen des coejjîciens de l’équation.
N. B. Il en est de même d’une fonction symétrique rationnelle et fractionnaire; car, si l’on conçoit que tous les termes soient réduits au même dénominateur, on aura une seule expression fractionnaire dont le numérateur devra , d’après le caractère
Die
d'i’HB FONCTION SYMÉTRIQIE QUELCONQUE.
distinctif d’une fonction symétrique (n° 291), être, ainsi que je dénominateur, une fonction symétrique rationnelle et entière ; donc , en évaluant chacune de ces fonctions, séparément , on obtiendra-ia valeur de la fonction proposée. '*
296. Applications de' la théorie de s fonctions symétriques. La
théorie des fonctions symétriques donne le moyeu de résoudre cette question que nous avons déjà traitée, (n"'272)parle secours de l’élimination : Une équation dont on, ne cannait pas les racines, étant donnée, former une nouvelle équation qut ait pour racine une combinaison déterminée do- deujf, trois, etc.,' quelconques des racines de la proposée.
Pour fixer lesldées, supposons d’abord que l’on veuille former une équation dont les racines soient la tomme de deux 'quelconques des racines de l’équation , X‘=t). - „ ‘ r
Soient a, l , c, d lps raejnes de cette équation ; ’ oelles
de la nouvelle éqilation que 'nous appellerons Z= 0, seront
a + b , a + c, adfd, b^c. ™.;ret leur nombre sera exprimé par le
nombre de somrnqs ou de combinaisons différentes,, deux à deux',
que l’on peut fair&Avçcrles m lettres a, b,‘c, d q’est-à-4»re
(n° 147) par ^ ; ainsi ce nombre, — *-g , rqire-
sente déjà le degré de l’équation.
Quant à la compo|jtion do ses coefficiens, comihe (n° 242) le coefficient, dq second teriqe qst égal à la somme des râcincs prises en signes contraires,, il a pour valeur,
expression dans laquelle a, b, c . . entrent toutes 4e læ même mabière; ainsi cette fonction symétrique rationnelle et entière peut s'exprimer au moyen des coefficiens P , Q , R . . . . de la proposée. ' ’
On a de même, pour le coefficient du troisième terme, la somme des produits deux à depx des mêmes quantités, c’est-à-
dire, (a + à) (a + c) + (a-|-é) (4 + c) + (a + ç) (è + c)+ . . . .,
expression qui est encore symétrique ena, i, c, . . . , et peut par conséquent s'évaluer au moyeu des coefficiens P, Q, R
APPLICATIONS
môme conclusion par rapport ans coefficiens du 4°, 3*.... terme, et, en général , par rapport au coefficient de rang n- Kl, puisqu’il n’est autre chose, au signe près, que la tomme det produit» n à n des quantités a + b,' a + somme qui est
nécessairement une fonction symétrique de a, b, c,. . .
Tonte la difficulté consiste à mettre en évidence toutes ces fonctions symétriques , , et à les .évaluer d’après les formules établies précédemment ; mais nous verrons bientôt un moyen plus simple .d’évaluer ces coeffiçiens.
Ori peut également former une équation dont les racines soient des tiomhinaisons de la forme
a -J- b -f* i hab , a *f e hue , a + d 4* had • • • « ,
k étant un nomhre connu et déterminé.
Le degré- de cette nouvelle équation , que l’on pe^t encore
désigner par Z === 0, est toujours marqué parère. — s — ; ët scs
coefficient étant , ad signe près , les sommes des produits , une à
une., deux à deux , troi* a troi»...., des' quantités a + b + hab, a + kac sont nécessairement des fonctions symétriques rationnelles et entières des racines de la proposée.
897. Proposons-nous, pour seconde application, déformer l’équation aux différence» de» racine» d’une équation donnée, ' question qui a déjà été traitée par l’é^minatiOn.
Nous avons fait- connaître (n° 275) la formé elle degré de cette équation. Soit m le degré de la- proposée celui de l’équation aux différence» est exprimé par bi(m — 1). De plus, elle est de degré pair , et ne renferme que des puissances de degré pair ; en sorte que , si l’on pose dans cette équation , u* = c
— 1) „ et — — ^ — n, 1 équation prend la forme
r» + PV— + Q '*«-» + . . ; + Vt + U' = 0 ... . (1) ;
» Ct »
ef les racines de cëtte nouvelle équation sont le» carré» de» différences des racines de la proposée.
Les coefficiens P', Q', . . . . T', U', sont les memes que ceux
