IM = R

d’où

cl ainsi de. suite \ d’où l'on déduit cette proposition générale: Pour qu'un polynôme ordonné pat * rapport à une certainb lettre , toit exactement divisible par un pplynomc indépendant de cette lettre, il faut que chacun des corjjiciens des diverses puissances dû-premier polynôme soit exactement divisible par le second. Les coefficiens des diverses puissances de la lettre dans le quotient , ne sont autre chose que les quolifns successifs de la division des coefficiens du polynôme dividende par le polynOme diviseur. s

Soit à diviser le polynôme . .• • • •

•3a’ A3 — 3aAc3 — 2A3e’ + A5 — 3a’Ac’-+ 3 aVc — a’e3 + Ac4q-a’A’e

parA’ — c’. . ' •

Le dividende ordonné par rapport à a, peut être mis sous la forme (3 A3 +A’e — 3 Ac’ — e3)a’ +(3A3c — 3 Ae3)a + A5 — 2 A3ca q- Ae4; effectuant les trois divisions partielles marquées par

SA^q-A’e — 3 Ac’ — c3 3A3c — 3Ac3 A5 — 2A3c’-|-Ac4

A’ — cJ ’ A*— c’ ’ A’ — c’ ’

on trouve pour quotiens, 3A + c, Zbc, A3 — Ae’; ainsi l’on a pour le quoticRt total, (3A + c) a’ + 3A<*a+A3 — Ac’.

Les deux derniers quotiens 3Ae et A3 — Ae’ peuvent s'obtenir plus aisément que par le procédé Ordinaire, çi l’on observe, 1° que 3A3e — 3 Ae3 équivaut (n° 21) à 3Ac (A’ — c’); 2° que A> — 2A3e’ + Ac4 équivaut à A (A4 — 2A’e’ + c4), ou A (A> — c’)’,

DES POLYNOMES.

Nous observerons, « ce sujet, que, s’il existe des règles générales pour effectuer toutes les opérations , ces règles peuvent souvent être simplifiées ; et il ne1 faut jamais négliger d’employer ecs simplifications., lorsque l’occasion 'd'en présente. Ou ne s’en conforme que mieux à l’esprit du langage algébrique.

31 . Parmi les différens exemples de division algébrique , il en est un remarquable par ses applications, et qui se rencontre si souvent dans la résolution des questions , que les algébrislcs en ont fait une espçce de théorème. On a vu (nos 3 et 19) que (a -(-A) (a — b) donne pour produit a’ — A1 ; donc, réciproquement a’ — A% divisé par a — b, donne a + b pour quotient.

En divisant également a3— A3 para — A, on trouve un quotient exact et égal à u' +ab+b\

De même, a'* — A4 divisé par a — A, donne poiir quotient «3 + a,Aq-aAI + A3. : <

Ce sont des résultats qu’om peut obtenir en suivant le procédé ordinaire de la division ; et l’analogie porte à conclure que, quelque grand que soit l’exposant -qui affecte les deux lettres a et A, la division se fait encore exactement ; mais l’analogie n’est pas une certitude rigoureuse. Pour acquérir cette certitude, désignons par/« l’exposant, et essayons la division de a'" — A'" par a — A.

a'" — b’i , —‘A — bm 1

1er reste, ou bien ,

-p a"‘—‘b — bm J a"‘—‘ b (a'"— * — A"'—

Divisant d’abord a"' para, on a pour quotient am d’après I» règle des exposans (n° 22). Le produit de a — b par étant soustrait du dividende, on a pour premier reste 'A -î- A'", expression qu’on peut mettre sous la forme A (a1"—1 — A"»—1). D’où l’on voit que , «i l’on suppose a’”— 1 — A"1— »• divisible exactement par a — A, il en est de même de a"1 — A"1; ce qui veut dire" que, si la différence des puissances semblables d’u>i certain deyré de deux quantités , est divisible exactement par Indifférence de ces memes quantités , la différence des puissances d’un degré plus grand d’une unité est aussi divisible. Or,

^ ^ donne un quotient exact et égal à le + A; donc ^

38 DIVISION DES POLYSOMES.

... \ '* ■ r aa£*\

donne un quotient exact et égal à à’ + i * ^ ,

ou aa+3 (a+i), ou bien encore, a' + o^+i’. ' •

Pareillement) î- — donne un quotient exaèt et égal à

fa3 ï3\ ■

a3 + i' r-£, ou a3 + b (a’ + ab + bA , ou a3 + a’i+ai’ +A3 :

am — ÿm

et en jgénéral , j — j- donne un quotient exact et égal à

u«- 1 -f. am— + an‘— 3b ’ + + abn‘— » + bm~ 1 .

L’exactitude de cette proposition se vérifie à 'posteriori , en effectuant la multiplication . ,

. (am 1 +a’”— ai+am—35*+ • • . . +a5'»-»+i’"- ') (a— 5).

On reconnaît que les produits partiels am et — bm sont les seuls qui ne se détruisent pas dans la réduction. Par exemple , en multipliant am~1b par a, on trouve pour produit am~'b ; mais si l’on multiplie a’"—' par — b, il vient pour produit — a"'— 'b , terme qui détruit le précédent. IL en est de même des autres termes.

Nous engageons les commençons à réfléchir sur le moyen de démonstration précédent , qui est assez souvent employé en Algèbre.

82. Nous avons donné (n0! 23, 26) les caractères principaux auxquels on reconnaît qu’une division de quantités monomes ou polynômes n’est pas exacte, c'est-à-dire qu’il n’existe pas de troisième quantité algébrique entière qui, multipliée par la seconde, reproduise la première. ■ 1 ■ • '•

Nous ajouterons, quant aux polynômes, que souvent on reconnaît, à leur inspection seule, qu’ils ne peuvent être divisibles l’un par l’autre. Lorsque ces polynômes renferment deux ou plusieurs lettres , il faut , avant d’ordonner par rapport à l’une d'elles en particulier, jeter un coup d’œil sur les deux termes du dividende et du diviseur, affectés respectivement du plus haut exposant de chacune des lettres. Si, pour unc'de ces lettres, les termes du plus haut exposant ne sont pas divisibles l’un par l’autre , on peut conclure que la division totale est impossible.