S PS, — QS

donc, si nous pouvions évaluer les sommes des puissances semblables des carrée de» diffère nce e , (a — b)2. (a — c)2..., nous obtiendrions facilement les v aleurs de P', Q', R'. :. . . ,

432 •. APPiicM'ions

Or, en appelant S'# , S', , S', , S4 ,.w les sommes des paissance» semblables des rpciiïes de l’éqnation (*£), on a .

S', =(o— A)’.+(a — eJ’-Ha— -d)a+ . . ,.= (»» — l)T.a’-^2T. ab, S\ =(a^i)4 + e}4 + . ,. = [m ^ l.)T.a4 — 4T.a34 + 6T.a’3%

S', s=(a — bf + (a — c)6 + . . . = (m — 1)T . aP — 6Ti à5b + 1 &T .a<A» t ' . * 20T.«3i3,

Explication de ce tableau. \\ est. évident d’abord que les développement-de S'; ,.S', , S'3... ne peuvent Ste composer que.de fonctions symétriques à une ou deux lettres au plus ; quant à la manière- Je lés obtenir, on observera que , dans chacun d’eux , a*, ou af\, ou a6.... doit être répété autant <le fois que l’on peut . former de différences entre la racine a et toutes lés autres.dont le nombre est m — 1 ; donc les fonctions l .®1, 1 .a-*,.T.afi, . . . . ont toutes ( m — 1) pour coefficient.

Les cocfficiens des autres fonctions sont d’ailleurs ceux des dévcloppemens des puissances (o — by, (a — b)4, (a : b)6 . . .,

depuis ld second inclusivement jusqu’au coefficient du ferme qui tient le' milieu, aussi inclusivement. Knfin , les diverses parties sonPalternativement positives et négatives, comme dans le développement de [a — by, (<i — by. . . .

Le nombre des sommes S',, S’, , S’, .... qu il est nécessaire d’évaliièr, est . égal au nombre des coefliciens P', Q'; R'.... de 1’équqtion (3); par conséquent, la dernière somme estS'„.

Cela posé , voici la inarche qu’il faut suivre dans-la pratique pour évaluer ces sommes :

On commence par calculer les sommes $, , S,, S ,..., jusqu a Son ou S,„(m— r)î des racines de la proposée (1) , puis, h l’aide des formules du- n" 294, on évalue toutes les fonctions T .ccb, T.a34, T.a’Æ’....; d*bù l’on conclut les valeurs dé. S', , S\ , S 3 S «, et, par suite, celles de P', Q', R',....IV, U .

298. Soit proposé de former l’équation aux carrés des différences des racines de l’équation x3 — 7x + 7 = 0.

Cette équation étant du 3° degre, on a m ^ — — 3; ainsi

l’équation cherchée es! de la forme z3 + P'zJ ■+■ Q'z + R' = 0 j