DE LA THÉORIE DES TO-SCTIONS SYMÉTRIQUES

■c'cst-à-dirc qft’il y a trois coediciens à déterminer, et, pat- conséquent, trois sommes S', , S', , S% , à calculer. Cela pose , on a

d’où Pon déduit , tout calcul fait ,

jiour l’cquation aux carrés des différences des racines de l’équation x3 — r7x+7 =0.

Nous engageons les coinmençans à traiter ce meme exemple par 1 élimination , afin de comparer les deux méthodes.

299. Ce moyen de déterminer les coefficiens de l’équation aux carrés des différences , peut être également employé pour déterminer les coefficiens de l’équation aux sommes des racines prises deux à deux , a +é, a + e, b-\-c... (voy. n° 296).

Soit x3 + Px1 + Qx + R = 0, l’équation proposée ; l’équation aux sommes a + b} a -J- c, b + cf serait de la forme

T.ab= Q — -7, T.rf4 — s4= 98,

T-asb = S3S,— S6 = — 835, T .a4J’= S, S,— S6 = • S39,

S’j — 2T .o4 — AT .a3A+ BT.a’i1 = 882,

Donc enfin , l’on obtient

Amicifioss

;3 +.P'z* + Q'z + R- == 0 ; et en Appelant S', , S', , S', , les sommes des puissances semblables des racines de cette seconde équation, on aurait, pour déterminer jS', , S', , S'3 , les formules

S'. = (« + £) +(«+e) + (A + c) = 2(a-f 4+e) = 2J.a‘ , , S'^^+^’ + ^+ci’ + ^+ej’^ST.a’ + St.a^,

Après avoir calculé les sommes S, , S, , S3 , de la proposée , on en déduirait les valeurs de T .a1, T.n^, T. a?, T.aai, ce quifevâit connaître S', , S', , ,S'3 ; et l’on obtiendrait enfin P', Q', R', d’après les formules

On opérerait d’une manière analogue pour former une équation dont les racines fussent des combinaisons de ccjles de la proposée, de la forme a+6 + kai, a-f c-f kac,.... ; on aurait, pour une équation du niimc degré ,

S', = (a-hi-hkai)-t-(fi -t-c-hkac) (m — H- AT .ah;

S', = (a-+-è-+-A-oA),-t-...=:(OT — l)T.a,-+-2T.ai-4-2AT.a,à

S'3 = (a-t-4-t-Aaà)3-t-.,.= (m — l)T.a3-t-3T .a’é + 3A (T.a34+2T.a*è’) -+-3A1T.a341-+-A3T.a3è3;

Nous proposerons les exercices suivans :

Déterminer, 1° l’équation aux carrés des différences des racines de l’équation x3 — : 6x — 7 = 0.

(Résultat, ... i3 — 36r’ + 324z + 459 =0.)

Cet exemple a déjà été traité (n° 274) par la métbode d’élimination.

2" L’équation aux sommes deux à deux des racines de l’équation -, x3 — 3x + 2 = 0.

(Résultat. .... s* — 3z — 2 = 0.)