DK LA THÉORIE DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

3" L’équation dont te» racine» soient de» combinaisons de la forme a+b-\-at>, des racines de l'équation

[Résultat. . . . t*+l0z*+\lr — 28 = 0.)

4° L'équation dont les racines soient lès sommes deux à deux

des racines de l’équation x4 — 6x3 — * 5x3 + 42x + 40=0.

( Résultat

*« *- 18x5 + 08 zi — 96z3 — 747z’ + 2322x — 1944.== 0.)

300. Nous terminerons les applications de la théorie des fonctions symétriques par la démonstration d’un très beau théorème sur l’élimination.

Ce théorème , dû à Sezout , consiste en ce que le degré de l’éqcatior finale qui résulte de l’élimination de Tune des inconnues entre deux équations d’un degré quelconque à deux inconnues, ne peut être plus grand que le produit des degrés des deux équations ; et il est justement égal à ee produit , lorsque les équations proposées tant les plus générales de leurs degrés.

Avant de développer là démonstration , il est indispensable de faire connaître la forme d’une équation complète du m,èmr degré à deux inconnues.

Nous avons déjà reconnu (n® 116), que toute équation du second degré peut être ramenée à la forme Mx’+Nx+B^O, M étant une quantité toute connue, N un polynôme du premier degré en y, et P un polynôme du second degré. .

En général , une équation à deux inconnues est dite du m"'-””' degré lorsque, le plus haut. exposant de chaque inconnue étant m, la sommedes exposons de ces deux inconnues dans un même terme, ne surpasse pas m (*). Il résulte évidemment de là que toute équation du degré m peut être ramenée à la forme.

Ax'"+Bx'"— 1 + Cxm—Ï+Dxm— 34- .... +Tx+U = 0,

(*) On suppose ici que les dénominateurs , s’il y en a , ne renferment p.is les inconnues x et y , autrement, il faudrait d’abord chasser les dénominateurs. ( Voyez la remarque du n° 929.)

APPLICATION A i’éUÎIIITATION.

A étant une quantité connue , numérique ou algébrique, B un polynôme du i" degré ert y, tel qUc f>y + />’,

C un polynôme dli 2" degré. . ........ cy'+c'y +e",

D da 3” degré, . .dy, + </'yI+d"y + d'"J

T.......... du(/it — lyèmc degré . . . ty”‘—l+. l'ym-i +

U du mieme ' 1 degré . . . tiÿ" + u'ym~l

301., Cela poséj, considérons les deux équations à deux inconnues ,

' A j™ + Bj’"- « + C j™-J + ....+ T j 4- U = 0

A' xn + B'-r'»- 1 + Ci'xn—’>- +....+ T'x + U'=== 0 ,

que nous désignerons, pour abréger, par M — 0, N =0.

Concevons eh outfc, quoique nous; n’en ayons pas encore les- moyens’; que la première équation soit résolue complètement par rapport à x, et donhe les 7/» valeurs x =a,x = A, x=>e,.. . (a, . étant alors les fonctions de y); chacune

de ces ni valeurs de x , substituée dans ,1’équqtion M-=0,. doit lavé riper, quelque valeur que l’on attribue à y après cette substitution. ’ . ■ • -,

• D’un autre côte , si l’on substitue ces m valeurs successivement dans le premier membre de l’équation N =0 , on obtient les expressions ■ .

A'an + BV— A'in+B'i'’-'-l-..., AV’+BV1- * + ...,

qui sont, en general; des fonctions irrationnelles de y. Or, je disque toute valeur, ÿ=£,*qui rend nulle l’une de ces fonctions, est une valeur convenable ( n° 267 ). En effet^ supposons, par exemple , que b rende nulle la fonction A 'an + B'pn— 1 + et désignons par ar=fc«, ce que devient <r = a, lorsqu’on remplace y par "dans a; le système (x — a, y = £) vérifie évidemment M = 0, puisqu’on a déjà vu que x — a la vérifie quel que soit y. En second lieu, y=S rendant nulle la fonction A'«" + B u’— 1 -f . qui n’est autre chose que le premier racm- Vre de N = 0, dans lequel on a mis a à la place de x, vérifie N = 0en même temps que r=«, valeur de n, qui correspond à y=^S. On voit donc que (*• = «, y=S) forme un système

DEGRÉ DÉ l'ÉQUATION FINALE. 437

commun aux doux équations M-=0 et N ==0-;, ainsi, y—£ est une valeur convenable. ,

Réciproquement', toute valeur convenable de y doit anéantir l'uno.des fonctious ci-dessus. Car, pour être convenable, il 'faut qu’elle satisfasse aux deux équations en mèineteiups qu’une certaine valeur do x; or, toutes les valeurs dex convenables sont comprises dans x = ft, x = b, x — c,...; et dès qUe î’uty'fâit x = a, ou x = A,..., le premier niembre de N = 0, retombe'dans l’une des fonctions ci-dessüs , qui doit par conséquent s’évanouir par, l'hypothèse y =6. > .

On peut conclure de là que ,, ni l’on égale à 0 le produit de toutes ses fonctions, /'équation qu’on obtiendra sera ( sans aucun facteur étranger) l’équation -finale qui .résulte de l’éliminatibn de x entre les deux équations proposées.

Cette équation finale est donc *

( A a» + BV- « + .... + Ta + U' ) ( k’b" + B >-« + ..,.+ T-'A + U' ) ( AV +B'c— < + .... +TV + Ü' ) = 0.... (-If).

Sa formation semble reposer sur la • résolution CQraplète de l’équation M='0, par rapport à x; mais nous allons voir que cela n’est pas nécessaire, et nous reconnaîtrons dans ce qui vient d’être dit une nouA'èlle méthode, d’ élimination.

Remarquons d’abord que l’équation *fY) uc changeons, quoique permutation que l’on fasse entre.les racines a, b, njnfi le premier membre est ( n" 291 ) uiie fonction symétrique rationnelle et entière des racines de , l’équation M==0?: résolue par rapport à x. Donc , en vertu du théorème n? 295 , ce premier membre peut être exprimé au moyen dès coeffibiens.A, B, C, . . . de l’équation M==0^ et il çst possible de'fqnner l’équation (Y) sans que l’on soit obligé de résoqdre d’abord l’équation M = 0.

Cette méthode, qui est assez sim"ple pour deux équations du second degré ,.devient‘très laborieuse lorsqu’on veut l'appliquer à des équations d’un degré plus élevé. Elle a toutefois, sur la méthode exposée n° 269, et sur plusieurs autres, l’avantage de conduire toujours à la véritable équation finale, sans l’introduction d’aucun facteur étranger.

Mais ici notre principal objet est de démontrer le' théorème sur le degré de l'équation fnale.

438 DKHRÉ DE l'ÉQUATION FINALE.

309. Pour déterminer le degré en y de l’éqnation (Y), il suffit du considérer un terme do rang quelconque. Or chaque terme de ce produit se forme de la multiplication d’un terme du premier facteur, par un terme du second, par un terme du

troisième •; soient K ,a.h, K 'AA', R'V*" des termes pris au

hàsard dans chacun des w»' facteurs 5 le terme correspondant du produit sera

d’ailleurs , le produit total est symétrique en a , 6 , c . . • . donc , ce terme fait partie d’une de?- fonctions symétriques qui entrent dans la- composition de (Y) ; et cette fonction partielle peut ellemême être représentée- (n° 293) par

R. R’. K".... xT.aW'"...

Il suffit donc de déterminer le pins haut degré en y de oette fonction.

§i Fon s® rappelle la composition des formules qui donnent S,, S j , S3 , • • • (n° 292), et que l’on ait qgardfaux degrés. en y des cpefficiens'A , B, C,. dé l’équation M==0 (n° 300), on , verra que S, ,’ S^ $3,.... Sa, sont du 1", 2e, 3°...,. et en général du/legré A e(i y. Djçkjc S/, x Sa' x S /,"... est d’un degré marqué pu;- h+h'+h"+ et d’après les formules du n° 204, qui donnent ' l’expression xl’ùne fonction symétrique^ quelconque , T :ahbh'ch" ...1 est aussi du. degré A+A' + A"..., et ne peut surpasser cè degré. . • •" ;

D’un autre coté,- soient h, A', h" . . . . les exposans de y dans les cpefficjerts R, K'/' R". . ja somme des exposans du pro-. duit K.K'.R''.... est A + A:d-Aw+ . . . • Ainsi, dans la fonction. R.R'.R*. . . xT.aV't*" la somme des exposans est

\+k'+k"j- +7i.+A'-f A"+ ; mais, d’après la composi-

tion de l’cquapon N = 0 , l’on a tout au plus

Aq-A = n, A' + A' = n , A"+A"=»....,

' Donc enfin , la fonction symétrique ci-dessus est tout au plus d’un degré marqué par « + « + ”+•••) oumxn.G.Q. F.D.

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aÉSOMJTiOK DBS tQU ATIOB8 NUltKIQIJBS. 430

N. B. h' équation aux différences étant ('n° 273) le résultat do l'élimination de x entre les équations

dont la première est du degré ni en x , et la seconde du degré m — 1 en x et u, il s’ensuit que cette.équatien finale doit être du degré m(m — 1 ); et c-’est en effet ce qui a été rcconriù (. ii° 278).

Le théorème précédent est également jipplicable à un nombre m d’équations renfermant un -pareil nombre d’inconnues. (V ’iy., pour sa démonstration, un Mcéntiïè de’M.jt>oi*son, XIe cahier du Journal de l'Ecàle Polytechnique , page 199.) ■■ „ •