CHAPITRE VUI

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES A UNE OU A PLUSIEURS ' * INCONNUES. ’

Les principes que nous avons établis dans le chapitre précédent, sont applicables à toutes les équations, de quelque nature que soient, leurs coefiiciens, numériques ou algébriques; et ces principes doivent être regardés eoramc les éléméns des méthodes employées pour résoudre les équations de degré supérieur. - ,

Nous avons, dej q dit que les analystes jie sont parvenus jusqu’à présent qu’à la résolution des équations générales du troisième et du quatrième degré. Les formules qu’ils ont obtenues pour le» valeurs des inconnues , sont si compliquées et d’un usage si peu commode, lorsque toutefois on peut les appliquer ( ce qui n’est pas toujours possible ), que l’on doit regarder le problème de la résolution des équations algébriques d’un degré quelconque, comme plus curieux qu’utile. Aussi les analystes ont-ils dirigé principalement leurs recherches vers la résolution des équations numériques , c’est-à-dire de célles qui proviennent de

PHIRCIPSS FORBASEÏITAIX

la traduction algébrique d’un problème dont les données sont des nombres particuliers; et ils Ont trouvé des méthodes au inuyèn desquelles une équation numérique d’un degré quelconque étant donnée, on peut toujours déterminer les racines qu’elle renferme.

C’est l’ensemble-de çes méthodes que nods nous proposons de développer' dans la première partie de ce chapitre.

La seconde aura'pour objet le complément de l’élimination, ou la résolution de» équations numériques à plusieurs inconnues.

Première partie, équation* numériques h une inconnue. [Pour la généralité de rtps ràisonnemens', nous représenterons encore l’équation proposée par x^q- Px"*— ' + Qxm~ 1 + . . . = 0 ; mais les lettres P y Q. . . . seront censées désigner des nombres particuliers et des quantités réelles, positives ou négatives. ]

§ P\ PRINCIPES FOHDAMEUTAUX. LIMITES DES BACIirBS.

SOS. Premier principe. Si deux nombres p et q (de signes quelconques ) , substitues à la place de x dans une èquatioi numérique, X = 0 , donnent deux résultats de signes contraires , ces deux nombres comprennent au moins une racine réelle de la, proposée l

Avant de démontrer cçtte proposition , nous ferons voir que, si un nombre s , mis à la place daXdâns un polynôme X , fonction entière de x ( n° 230 ) , mais dont les coefficiens sont numériques et réels, a donné un. certain, résultat A, on pourra, -X: n remplaçant x par a + u, et prenant « suffisamment petit, obtenir un nouveau résultat qui diffère du premier d’une quantité moindre que toute grandeur donnée .

Soient en effet A , B, C , D , ... . . ce' que deviennent les poly-

nomes X , Y , , 5-1 , . { n° 264 ) quand on y met- a au lieu

de x; le polynôme X'devicndra , par là substitution <lç a + « , •

A -f- IV q-’ Cm1 +. Dm1 -p . . . + um., ou bien k + u (B-pCa -pDit^-p . . . -pu"*-

La quantité *( -Bq- Cm est 1’expf.ésyon de la différence entre les résultats des substitutions de a + “ et de a; et c’est cette différence qui doit être reconnue susceptible de devenir