DE LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

moindre que toute grandeur dohnée, pour une valeur de u convenable. * '

Or, B, G, D...,, étant des quantités finies de signes quelconques, considérons le cas le plus délaver ali Je qui puisse se présenter, celui où elles seraient toutes de même signe et égales à K, la plus grande d’entre elles. L’expression w (B-fc-Cu + ...) devient Ku (1‘ -f-ù + « ’ + .v. + u"‘— 1 ) , •

ou (n° 31 ) ) — r— r, quantité moindre que , dans le

casdeu<l. /

Gela fiosé, si l’op veut, p,ar exemple, que là différence sqit

moindre qu’une quantité donnée N , il n’y a qu’à poser Km ... , .N

ou <N, éc qui donne u— ou <

ei toute valeur de « qui satisfera à cette dernière condition, satisfera nécessairement à l’inégalité j

Ra(l+K + a’+ — + a'"rI)<N, » '

et à plus forte raison, à l’inégaHlé .

u f B -f- Cm -4- Dm1 -f- .. ,j ^Nr C.Q.F.D.

Nous pouvons- actuellement démontrer le principe énoncé ci-dessus. . . t

Les deux nombres p et q mis à la place de -.r dans l'équation X = 0, donnant, par hypothèse, deux résultats de signes contraires, P, et Q, , on peut concevoir que l’on fasse varier x par degrés insensibles depuis.^ jusqu’à y; les résultats des substitutions successives varieront aussi par degrés insensibles, e’est-à- • dire.de manière à ne différer les uns des autres que de quantités aussi petites que l’on voudra ( ce qu'on exprijno en disant que le polynôme X est soumis à la loi de continuité dans l’intervallfc de 1\ à Qij. Or, une quantité qui esl. constamment finie {*), ne

(*) Eu.fiénéral, une fonction de v |>cu! passer (le I élut positif à l étal négatif, soit en passant par l’infini, soit en passant pur la valeur iém; mai» ici, les coeHicieus de la proposée étant des nombres finis , et x n’entrant nas en dénominateur, la valeur de X ne peut pas devenir infinie.

HtlNCIFKS FONDAMENTAUX

peut passer du positif au négatif, ou réciproquement, qu’en passant par la valeur 0. Donc, parmi les nombres compris' entre p ot ç,il y cnra nécessairement au moins un qui donne un résultat égal a 0; et ce nombre est alors une racine de l’équation

804, Second principe. De ce que deux nombres substitués à la place de x dans une équation , donnent deux résultats de signes contraires, on est eh droit- de conclure qu^ils comprennent au moins une racine réelle ,• mais on ne peut pas affirmer qu’ils n’en comprennent qu’une seule, et ils peuvent en comprendre un nombre impair quelconque. ' Ceci résulte.d’upe nouvelle proposition que nous allons démontre*, et qui consiste en ce que., si deux nombres comprennent un nombre impair quelconque , 2n -p 1, de racines réelles, les résultats de leur substitution à la place de x sont de signés contraires ; et s’ils en comprennent un nombre pair quelconque 2n, les résultats de hur substitution sont nécessairement de même signe. ' %

Pour mettre cette proposition dans tout son jour, désignons par a, b, c.... celles des raciires de l’équation proposée X = 0, que l’on suppose Comprises entre deux nombres donnés p et y, de signes quelconques , et par Y le produit des facteurs du premier degré eh x, qui correspondent aux racines réelles nom comprises, et aux raqines imaginaires. *

• Le premier .membre , X, de l’équation peut so mettre soqs la

* * \* > •*' forme' (x — a) (x — b) (x — e)...X Y.

Substituons maintenant dans le produit précédent, pet q à la place de nous obtenons les deux résultats

Vp-a)^p — b) ( p — c ) . . . xY',

Y' et Y" désignant ce qne dévient Y lorsqu’on y remplace x par p et q, ces deux quantités Y' et Y" sont nécessairement de même signe } puisque autrement, eu vertu du premier principe, Y aurait encore au moins une racine réelle comprise entrer p et q , ço qui serait contre l’hypothèse.

Cela posé, pour déterminer plus facilement les signes des deux