DE LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

résultats ci-dessus, divisons le premier par le second; il vieut

ou bien

xY"’

Mais p et q comprenant les racines a, b, c, d. . . , on a néces-

sairement

et

p ^a, bj c, d,. .

d’où l’on déduit p — a, p — b, p — c, et q — a, q — b, q — c,

donc, puisque p — a et q — a sont de signes contraires, de même

que p — b et q — b, p — c et y — c. . . . , les quotiens partiels

, 7, - . • . . sont tous négatifs; d’ailleurs =7- est

essentiellement positif, puisque Y7 et Y" sont de même signe;

— b vxr

sera

ainsi, le produit * x- f X^ X ,

■négatif si les racines comprises a, b, c. . . sont en nombre impair,

el positif si elles sont en nombre pair.

Donc enfin les deux résultats (-p — a)(p — b) (p — c) . . .xY’, et (q — a) (q — b) (q — e) . . . x Y", seront de signes contraires ou de même signe, suivant que les racines comprises entre p et q seront en nombre impair ou en nombre pair.

Conséquence. 11 résulte nécessairement de cette proposition , que, si deux nombres, substitués à la place de x dans une équation, donnent deux résultats de signe* contraires , ils comprennent au moins une racine, mais ils peuvent aussi en comprendre un nombre impair quelconque ; et s’ils donnent deux résultats de même signe, ou ils ne comprennent pas de racines, ou bien ils en comprennent un nombre pair quelconque. , " \ , ;• •