LIMITES DES RACINES
Ui
Limites des racines réelles des équations .
Les diverses méthodes inventées pour la résolution des équations numériques se réduisent, en dernière analyse, à substituer, dans l’équation , des nombres particuliers qui en' sont alors reconnus racines, comme la vérifiant, op qui, du moins, sont jugés dev.oir comprendre une ou plusieurs racines. Mais en réfléchissant siir l’accroissement rapide (à mesure que x augmente) du premier terme par rapport aux autres, qui sont de degré moindre, on sent qu’il doit exister un nombre susceptible de rendre ce premier termè, à lui seul, supérieur à tous les autres réunis, c’est-à-dire à leur somme arithmétique (n° 62) , et qui , par conséquent , substitué dans l’équation , donne nécessairement un résultat de même signe que ce premier terme (qu’on peut toujours regarder comme positif). Ce nombre est donc une limite au-delà de laquelle toute autre substitution deviendrait inutile, puisqu’on serait sûr d’obtenir-des résultats constamment positifs, et jamais nuis. C’est donc par la détermination d’un pareil, nombre , qu’il convient de faire précéder le développement des méthodes de résolution.
30S. On appelle'MMiTB stperieire des racines positives d’une équation, tout nombre qui surpasse la plus1 grande des racines positives de celte équation. , -
Il résulte de cette définition que la limite est susceptible d’une infinité de valeurs; car, dès qu’un nombre est reconnu supérieur à la plus grande racine positive , tout nombre plus grand jouit à plus forte raison de cette propriété ; mais alors on doit se proposer de déterminer la limite la plus petite possible; or, on est certain d’avoir une limite dès que l’on a obtenu un nombre qui , substitué à la place de x , rend le premier membre positif , et qui est tel , en même temps, que tout autre nombre plus grand donnerait aussi un résultat positif .
.Occupons-nous donc de la détermination d’un nombre qui jouisse de cette double propriété.
SOS. Commençons , avant tout, par résoudre la question suivante : On demande un nombre qui, substitué à la' place de x dans
LIMITES DES RACISES.
une équation, vende le premier-terme xm plus grand,, a lui seul, que la somme arithmétique de tous les autres.
Supposons , à cet effet , que tous les termes de l’équation soient négatifs, à partir du second, en sorte que l’on ait
x">— Pxw-* — Qx™— » — . . . . — Tx — U = 0; il s’agit alors de trouver pour x un nombre qui rende ■ ’ x” > Pxm— 1 + Qjr'»— » q- . . , . -fTx+U. ... (IJ. .
Or, si l’on désigne par K le plus grand de tous les coefiiciens, et qu’on pose la nouvelle inégalité - - • ..
x“> Kj’»-'+Rr’"-, + . . . . + Rx + R . . . . (2),
il est évident que tout nombre rnis pour x, qui satisfera à celle-ci, satisfera, à plus forte raison , à la, précédente.
Mettons d’ailleurs le facteur xm en évidence dans l’inégalité (2); elle devient
et sous cette forme on voit que , dès qu'un nombre substitué à la place de x aura satisfait à l'inégalité, tout autre nombre plus grand y satisfera encore, puisque la somme des quantités K K
— 1 (-.... devient d'autant plus petite» que x est plus grand.
Cela posé, si l’on fait d'abord x=R dans l’inégalité (3), le premier membre devient Km, et le second membre
Km ^1 -J- j— ^ ^ , quantité plus grande que Km. Ainsi
le nombre K ne satisfait pas à l’inégalité.
Essayant maintenant R 4- 1 , on trouve , pour le premier membre, (R+ l)m.
'■Quant au second, pour en calculer plus facilement la valeur,
nous remonterons à l’expression • g
Kx"1 — 1 +Rx™-2+ . . . .+Kx+R,
ou K(x"'—'+xm—* +....+ x+1),
qui, d’après la propriété du n“8l, ou d’après la formule du n° 193, revient à .
LIMITE SCFÊaiElRE
et nous y remplacerons x par R + 1. Il vient, par cette substitution ,
ou, réduisant, ... (R+ 1)'" — 1,
résultat évidemment plus petit que (R + l)m ; d’ailleurs , nous avons déjà reconnu que tout autre nombre plus grand satisferait, à plus forte raison , à l’inégalité (3).
Donc enfin , R + 1, ou le plus grand coefficient de l’équation , augmente de l’unité, et fout nombre supérieur à R+ 1 , jouissent de la propriété de rendre le premier terme xm, à lui seul , plus grand que la somme arithmétique de tous les autres.
307. Limite ordinaire des racines positives. Le nombre que Ton vient d’obtenir , peut être considéré comme une première limite, puisque ce nombre, ou tout autre nombre plus grand, rendant le premier terme supérieur à la somme de tous les autres, les résultats des substitutions de ces nombres à la place de x doivent être constamment positifs ; mais cette limite est ordinairement beaucoup trop grande, parce qu’en général l’équation renferme plusieurs termes positifs. Cherchons donc une limite plus rapprochée de la plus grande racine.
Désignons par x'"—" la puissance de x, correspondant au premier terme négatif qui vient après le terme xm, et considérons le cas qui est évidemment le plus défavorable ( mais il est plus facile à traiter), celui où tous les termes sont négatifs à partir de xm~n, et affectés du plus grand des coefficiens négatifs qui entrent dans l’équation.
Soit S ce coefficient ; tâchons d’abord de satisfaire à la condition
"+Sxm "— *+ ...+Sx+S (1),
ou , mettant le facteur xm en évidence ,
Xn~^~ 1
xm — •
Cette autre formé prouve déjà que, dès qu’on aura trouyé pour x un nombre qui satisfasse à l’inégalité , tout autre nombre plus grand y satisfera encore , puisque la quantité entre parenthèses devient d’autant plus petite que x est plus grand.
DES HACIHES POSITIVES.
Or, si l’on pose d’abord xn = S, ou x=.j/S = S', le premier membre de l’inégalité (2) devient S'm, et le second ..... / S'" S'" \
S'm f 1 + t<[+- + g;-— 4- . . . . + J i quantité évidemment plus
grande que S'm; donc S' ou y'S ne satisfait pas à l’inégalité.
Faisant actuellement #=S'+1 (ou |/S + 1), on obtient d’abord pour le prfemier membre. - . . (S'+l)m.
Quant au second, pour en calculer la.vafeur., il est plus simple de remonter à l’inégalité (1), dont le second membre revient (n° SI), ou (n° 193), à
Xm — — 1
On trouve pour cette expression , en remplaçant x par S' + 1 ,
ou , mettant S'" au lieu de S , et réduisant ,
ou bien encore , .
Or celle-ci est évidemment moindre que (S'+l)ei; donc,
S'+ 1 ou j/S + 1, et tout autre nombre plus grand, jouissent de la propriété de rendre le premier terme plus grand, à lui seul, que la somme arithmétique des seuls termes qui soient négatifs dans l’équation , et, par conséquent, de donner pour le premier membre de s résultat t constamment positifs.
Donc enfin , j/S+ 1, ou l’unité augmentée de la racine du plus grand coefficient négatif, racine d’un degré marqué par le nombre des termes qui précédent le premier tenue négatif, est une limite supérieure des racines positives de l’équation.
Lorsque le premier terme négatif est le second terme de l’équation, il faut faire n = 1 , et la limite devient S + 1 , ou le plus
LIMITE SL'PÉRIEIRF,
grand coefficient négatif augmenté de l'unité : c’est la limite dont on se sert ordinairement.
Si les deux premiers termes sont positifs , ou que le second
terme manque, on a «=2, et la limite est alors j/S+1.
Dans le easde n = 3 , on a pour limité, j/S + 1 ; et ainsi de suite.
Prenons pour exemple les équations suivantes ,
2" xs+ïx4— 12*»— 40x’ + 52x— 13=0, |/S+ lx=^/49+ 1=8;
3° x4 + 1 lx2 — 23x — 67=0 , - î/S+l=n/67+l=G;
N. B. Dans le- dernier exemple, on a d’abord divisé l’équation par 3, avant d’établir la limite, parce qu’en cherchant la limite générale, on a supposé le coefficient du premier terme égal à l’unité.
De plus , il est d’usage d*’exprimer cette limite en nombres entiers.
