Souvent , au moyen d’une transformation exécutée sur

l’équation, on obtient une limite plus petite que y/S+l.

Considérons, par exemple, la première des équations ci-dessus; elle peut être miste sous la forme

x3(x — 5)+37x ^x — jÿ^+39=0.

Or , il est visible qu’en y mettant pour x, 5 ou tout autre nombre plus grand , oit obtiendrait un résultat constamment positif; donc 5 est une limite, tandis que l’on a trouvé 6 d’après la formule. . •

On a de même , pour la seconde équation ,

i en réunissant le premier et le quatrième terme , le second et

PAH LA MÉTHODE DE HILW/TOX.

le troisième, etc.); or, on voit que x = V'j9, c’est-à-dire 4, ou tout autre nombre plus grand , donnerait un résultat positif.

L’artifice de cette méthode, qui ne peut s’appliquer qu’à certaines équations, consiste à décomposer le premier membre en plusieurs parties composées chacune de deux facteurs dont le premier soit un monome positif et l’autre un binôme en x dont le second terme stfit numérique et négatif, puis a déterminer x de manière que tous les facteurs entre parenthèses soient positifs. Elle est rarement applicable à des équations renfermant plusieurs termes consécutifs affectés du signe — .

Par exemple , on ne peut l’appliquer a Une équation telle que

Toutefois , comme le premier membre de cette équation peut se mettre sous la forme

on reconnaît aisément que 13+1 ou 14 serait une limite supérieure.

309. Méthode de Newton pour déterminer la limite supérieure , la plus petite possible (en nombres entiers).

Soit X = 0 l’équation proposée; si l’on fait, dans cette équation, x=x x' étant une indéterminée, on obtient (n°262) la /

transformée X’-hY'u-r — u2^ . = 0, dont les cocfïiciens

s’obtiennent d’après une loi connue.

Cela posé, concevons que, par des essais successifs, on soit parvenu à déterminer pour x' un nombre qui , substitué dans

X', Y', -g-. . ., rende tous ces coeffieiens positifs à la fois ; je dis

Jt

que ce nombre est supérieur a la plus grande racine positive de l’équation X = 0.

En effet , les coeffieiens de la transformée étant tous positifs , aucun nombre absolu ne peut vérifier cette équation ; ainsi les valeurs réelles de u doivent être toutes négatives; mais de l’equation x=zx'-bu, on tire «==x — x'; et pour que les valeurs de u,

.450 LIMITE SUPÉRIEURE l'Ail LA MÊTUODE DE REWTOR.

qui correspondent à chaque valeur de x et à la valeur de x' (déjà déterminée), «lient négatives, il faut absolument que la plus grande valeur positive de x soit moindre que la valeur de x' ; ce qu’il fallait démontrer.

Voici d’ailleurs la manière d’appliquer la méthode :

Soit l’équation xi — Sa-3 — 6a:3 — 19x-+-7 =0.

Comme x' est un caractère indéterminé , on peut conserver la lettre x dans la formation des polynômes dérivés ; et l’on a

X — ari — 5a:1 — 6a:3 — 19x-L-7,

Y = 4a:1 — lba:3 — 12x —19,

\ = ft*’-18* —6,

Ea question est , comme on vient de le voir, ramenée à trou-ver pour x un nombre entier (le plus petit possible) qui rende tous ces polynômes positifs. <■

Commençons par le polynôme du premier degré ; il est visible que 2, ou tout autre nombre >2, le rend positif.

2 , substitué dans le polynôme du second degré , donne un résultat négatif; mais 5, ou tout nombre ^>5, donne un résultat positif.

% et 4, substitués dans le polynôme du troisième degré, donnent un résultat négatif; mais 5 donne un résultat positif, et il en serait de même de tout autre nombre plus grand.

Enfin 5, substitué dans X, donne un résultat négatif ; et il en est de même de 6 ; car les trois premiers termes a:4 — 5a:3 — 6a-3, reviennent à a:5 (a: — 5) — 8a:3, expression qui se rédnit à 0 dès que l’on fait x = 6; mais x =7 donne évidemment un résultat positif.

Donc 7 eut une limite supérieure des racines positives de la proposée ; c'est d’ailleurs, en nombres entiers," la limite la plus petite, puisqu'on vient de reconnaître que 6 donnait un résultat négatif, d’où il résulte (n° SOS) qu’il y a au moins une racine comprise entre 6 et 7. '

En général , on obtiendra par cette méthode la limite la plus petite en nombres entiers , toutes les fois que l’on aura reconnu

DÊTIHH'.NATIOR DES AUTRES LIMITES.

qu’un certain nombre entier K et tout nombre plu » grand, rendant positifs tous les polynômes dérivés, mais négatif le polynôme proposé, K -4-1 rend celui-ci positif. La limite la plus petite est alors K-t-1.

C’est ainsi qu’on trouvera que 6 et 7 sont les limites respectives des équations % . .

x5 — 3x4 — 8x3 — 25x’-4-4x — 39=0 , xs g x4 1 3x3 -4- 1 7 x’ — 69 = 0 .

N. B. On conçoit que cette méthode (qui n’cst d’ailleurs employée que dans la recherche des racines incommensurables ) peut donner même une quantité moindre que l’unité pour limite supérieure ; puisque , d’après la nature de cette méthode, il suffit de trouver pour x un nombre qui rende posttifs le polynôme proposé et ses dérivés. ( Nous enverrons un exemple au n° 342.)

310. Il nous reste maintenant à déterminer la limite supérieure des racines négatives , et les limites inférieures des racines , soit positives, soit négatives.

Dorénavant, nous désignerons par la lettre L la limite supérieure des racines positives d’une équation , de quelque manière qu’on l’ait obtenue.

l°Si, dans l’équation X=0, on faitx = — y, ce qui donne la transformée Y = 0, il est clair que les racyies positives de cette nouvelle équation, étant prises avec le signe — , donneront les racines négatives delà proposée; donc, en. déterminant, par les moyens connus , la limite supérieure L' des racines positives de la transformée, on aura — L' pour la limite supérieure (numé- * * riquement) des racines négatives de la proposée.

2° Si, dans l’équation X = 0, on fait x = ~ , il en résulte une transformée Y =0 , dont les coefficiens sont ceux de la proposée écrits dans un ordre inverse. Or, il suit delà relation x = -,

qu’aux plus grandes valeurs positives de y correspondent les plus petites de x; donc, en désignant par l la limite supérieure ‘

des racines positives de la transformée, on aura j pour la limite inférieure des ^racines positives de la proposée.

COSSÊyCERCES

3° Enfin si, dans la proposée, on remplace x par , et

qu’on cherche la limite supérieure l' des racines positives de la transformée Y=0, — sera la limite inférieure (numériquement) des racipes négatives de la proposée.

311. jV. B. Nous termineroift par deux remarques fort utile s dans la recherche de ces limites.

Premièrement, toute équation qui n’a que des permanences de signe , c'est-à-dire dont tous les termes sont positifs , ne peut avoir pour racines réelles que des nombres négatifs ; car tout nombre positif, mis à la place de x, rendrait le premier membre essentiellement positif. Ainsi, dans ce cas, zéro est la limite supérieure des racines positives.

En second lieu, toute équation complète, dont les termes sont alternativement positifs et négatifs , c’est-à-dire qui n’a que des variations de signe , ne peut avoir pour racines réelles que des nombres positifs ; car il est évident que tout nombre négatif, mis à la place de x dans la proposée , rend tous les termes positifs si l’équation est de degré pair, et tous les termes négatifs si l’équation est de degré impair; ainsi la somme des termes ne peut devenir nulle. >

Donc , dans ce cas , il est inutile de rechercher les limites négatives.

il en est de même de toute équation incomplète, telle que, si l’on change x en — y, il en résulte une transformée qui n’a que des permanejices. '

Conséquences déduites des principes précédens.

Le principe fondamental de la résolution des équations numériques, et ceux que nous venons d’établir sur les limites, ont conduit les géomètres à des conséquences très importantes.

812. Première conséquence. Toute équation de degré impair, dont les coefficieüs sont réels , a au moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme.

En effet, soit x^-t-Px™— i-t- . . .-f-Tx± U— 0, l’équation pro-

des principes précédens. -453

posée; et considérons d’abord le cas où le dernier terme est négatif.

Si l’on fait .r=0 dans l’équation, le premier membre se réduit à — U. D’un autre côté , substituons à la place de x , ( K-t-1) , ou (n° 306) le plus grand coefficient de l’équation augmenté de l’unité; comme, par cette substitution, le premier terme xm est à lui seul plus grand que la somme arithmétique de tous les autres termes , il s’ensuit que le résultat de la substitution est ■positifs donc, en vertu du principe (n° 303) , il y a au moins une racine comprise entre 0 et (K.-+- 1 ) , laquelle racine est positive, et par conséquent de signe contraire au dernier terme.

Supposons actuellement le dernier terme positif.

En faisant toujours x = 0, on trouve pour rtisultat -4- U ; mais en mettant pour x, — (K-t-1), on obtiendra un résultat nécessairement négatif puisque le premier terme x'n, qui devient négatif par cette substitution, donne son signe à toute l’expression. Donc l’équation a au moins une racine comprise entre 0 et — (K-t-1) , c’est-à-dire négative ou de signe contraire au dernier terme.

Seconde conséquence. Toute équation de degré pair, à coefficiens réels , dont le dernier terme est négatif , a au moins deux rùcines réelles , l'une positive et Vautre négative.

En effet , soif — U son dernier terme ; en faisant x = 0 , ou trouxm pour résultat — U. Substituons successivement (K + 1) et — ML + 1), K étant toujours (n° 306) le plus grand coefficient ae, 'l’équation ; comme m est pair; le premier terme xm restera positif; d’ailleurs il devient plus grand, par ces substitutions , que la somme de tous les autres ; donc les résultats des deux substitutions sont l'un et l’autre positifs, ou de signe contraire à celui que donne l’hypothèse x — 0. Ainsi l'équation a au moins deux racines réelles ^Gqtqpvise entre 0 et (K + 1 ), ou positive, et l’autre comprise entre 0 et — (K + 1 ), ou négative.

N. B. On ne peut rien conclure pour toute équation de degré pair dont le dernier terme est positif ; et même il est aisé de former des équations qui n’aient que des racines imaginaires : il suffit, pour cela, de multiplier entre eux plusieurs trinômes du second degré, qui , égalés séparément à 0 , ne donneraient