CONSÉQUENCES DES PRINCIPES PRÉCÉDÉES

que des racines imaginaires ; il est clair que l’équation ainsi formée n’aurait elle-même que de* racine s imaginaire*.

En rapprochant les deux conséquences précédentes de la proposition (n° 256), que toute équation a au moins une racine, on vmt que cette proposition hypothétique so trouve maintenant démontrée pour la plupart des équations ; d’ailleurs, les démonstrations des conséquences ci-dessus sont fondées sur le principe du numéro 305 et sur celui du numéro 306, qui sont tout-à-fait indépendans de la théorie établie dans le septième chapitre.

313. Troisième conséquence. Si une équation, dont les coefficiens sont réels, a de s racines imaginaires , ces racines ne peuvent être qu’en nombre paiç.

En effet , concevons que l’on ait divisé le premier membre de la proposée par tous les facteurs simples qui correspondent aux racines réelles; le polynôme quotient que l’on obtiendra, aura ses coefficiens réels (d’après la loi de formation n° 238); de plus , il doit être de degré pair; car, s’il-était de degré impair, on l’égalerait à zéro , et l'équation résultante aurait encore (n° 312) au moins une racine réelle , ce qui serait contre la nature de cette équation.

Remarque. Le polynôme quotient dont nous venons de parler, jouit d’ailleurs d’une propriété caractéristique, c’est-à-dire appartenant exclusivement aux équations qui n’ont que des racines imaginaires ; -c’est de rester constamment positif, quelqitt valeur réelle que l’on y mette à la place de x.

En effet, s’il pouvait devenir négatif, comme on obtiendrait aussi un résultat positif en substituant pour x, (K ■+• 1 ), ou le plus grand coefficient augmenté de l’unité, il s’ensuivrait que ce polynôme égalé à zéro aurait au moins une racine réelle comprise entre (K.+ 1) et lq nombre qui aurait donné un résultat négatif.

Il suit encore de là que le dernier terme de ce polynôme doit être poiitif, puisque autrement * = 0 donnerait un résultat négatif.

Nous démontrerons, dans le neuvième chapitre, que non seulement les racines imaginaires sont en nombre pair dans toute équation , mais encore qu’elles s’y trouvent par couples.

RÈGLE DES SIGNES DE DESCARTES

et qu’elles sont de la forme a db b j/ — 1 , c’est-à-dire de même forme que les racines imaginaires des équations du second degré.

314. Quatrième conséquence. Toutes les fois que le dernier terme d’une équation est positif , le nombre des racines réelles positives de l’équation est pair ; et toutes les fois qu’il' est négatif, le nombre des racines réelles positives est impair.

En effet , supposons d’abord que le dernier terme soit -f- U , ou positif. Comme, en faisant x = 0 , on a pour résultat + U , et qu’en faisant .r=K + 1 , on a aussi un résultat positif, il s’ensuit que 0 et (K.+ 1) donnent deux résultats de même signe, et par conséquent (n° 304) que le nombre des racines réelles qu’ils comprennent , est nul ou un nomftre pair , quelconque .

Si , au contraire, le dernier terme est — U, alors 0 et (K.+ 1) donnent deux résultats désignés contraires, et comprennent par conséquent istse seule racine ou un nombre impair quelconque de racines réelles. v '

La réciproque de cette proposition est évidente.

RÈGLE DES StGNES DE DESCARTES.

315. La règle suivante fait connaître le plus grand nombre de racines positives , et le plus grand nombre de racines négatives qu’une équation numérique puisse renfermer.

Une équation d’un degré quelconque ne peut avoir plus de racines positives que de, variations de signe, ni un nombre de racines négatives plus grand que celui des permanences.

Pour démontrer la première partie de la proposition , nous ferons voir d’abord que la multiplication du premier membre d’une équation par un facteur x — a correspondant à une rucine positive , introduit au moins une variation de plus.

Soit en effet l’équation

... — Nx"— ... + Px/<... + ,..d; T.r‘=b...= 0,

dont nous supposerons, pour la plus grande généralité possible, le premier membre composé d’une première série de termes positifs commençant par M.rm, puis d’une série de termes négatifs commençant par — N-r" , puis encore d’une série de termes positifs commençant par + Pxp, et ainsi de suite, jusqu’à une

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dernière série de termes de même signe, commençant par ± TV, et qui seront tous positifs , ■ ou tous négatifs, suivant que ces séries alternatives de termes positifs et négatifs seront en nombre impair ou en nombre pair ; chacune d’elles pouvant d’ailleurs se réduire à un seul terme.

Cela posé , multiplions le premier membre de l’équation par x — a; nous obtiendrons deux produits partiels dont le premier aura ses termes affectés des mêmes signes que le multiplicande, et dont le second aura ses termes affectés de signes Contraires à ceux du multiplicande , et avancés d’un rang vers la droite. On pourra donc , en ne tenant compte que des signes qu’il est utile de considérer, écrire les deux produits partiels et le produit total , de la manière suivante :

-+- M-r"' N^1 — iTVrfc .. .

-t-M-r"'-*"1 -H-Nar'1'*-' — ...-t-P-rp-*-1 — ...-+- ±,TV+I....

Or, on voit tout de suite, à l’inspection de ce produit total, que son premier terme est positif comme celui du multiplicande; qu’au premier terme négatif — N*" du multiplicande correspond un terme négatif, du produit total , quels que soient d’ailleurs les signes intermédiaires ; que de même , au terme •+- P xp du multiplicande, correspond un terme positif du produit total , et ainsi de suite, jusqu’au terme ± TV du multiplicande, qui est le premier de la dernière série, et auquel correspond également un terme du produit total , affecté du même signe que lui.

D’où l’on voit qu’à chaque variation de signe du multiplicande correspond au moins une variation du produit total. Mais celui-ci est terminé par un terme affecté du signe q: , qui amène nécessairement au moins une variation qui ne se trouve pas dans le multiplicande. Donc, l’introduction d’une racine positive dans une équation fait naître au moins une variation de plus. C. Q. F. D.

Maintenant, puisque chaque racine positive, introduite dans une équation , donne lieu à une variation de plus , il s’ensuit nécessairement qu’une équation ne saurait avoir plus de racines

RÈGLE DES SIGNES DE DESCARTES. 457

■positives que de variations do signe ; ce qui constitue la première partie de la proposition.

Quant à la seconde partie, il suffit d’observer que, si l’on change x en — x dans une équation, ce qui revient (n° 310) à changer les racines positives en racines négatives, et réciproquement, les variations de signe de l’équation deviendront des permanences, et réciproquement. Or, en vertu de ce qui vient d’être dit, la transformée ne peut pas avoir plus déracinés positives que de variations de signe ; donc la proposée elle-même ne peut pas avoir plus de racines négatives que de permanences .

N. B. Le moyen de démonstration que nous venons d’exposer est dû à M. Gauss qui a , en outre , fait plusieurs remarques relatives au cas où l’équation est incomplète (*).

Nous nous bornerons à faire observer, d’après lui, que la première partie de la proposition est toujours vraie, quelle qne soit l’équation , c’est-à-dire qu’elle soit complète ou incomplète; mais la seconde exige, pour être exacte, ou que l’équation soit complète , ou, si elle est incomplète , qu'on ait rétabli les termes qui manquent, en affectant les puissances de x correspondantes, du coefficient db 0.

Soit, par exemple, l'équation

jri — 5 J*1 -4- 8jr — 6 = 0,

qui, ayant son dernier terme négatif, a au moins (n° 312) deux racines réelles, l’une positive, l’autre négative. Comme il n'existe que des variations de signe dans cette équation , il semblerait 4 qu’elle ne peut avoir aucune racine négative. Mais si l’on rétablit le terme en jr3, il vient

ar4 ± 0 .a*3 — 5 j:2 -+- 8j — 6 = 0,

équation qui renferme une permanence, soit qu’on prenne le coefficient 0 avec le signe -+-, soit qu’on le prenne avec le signe — .

316. Conséquence. Toutes les fois qu’une équation n’a que des racines réelles, le nombre des racines positives est égal au nombre

(■) Voyez le Journal de Crelle, tome 111, page 1 , et le Bulletin de M. de Férussac, tonie IX, page 353.

RÈGLE DES SIGNES DE DESCARTES

total dos variations , et le nombre des racines négatives, au nombre total des •permanences .

En effet , soient m le degré de l’équation , n le nombre des variations de signe qu’elle présente, p le nombre des permanences ; on a nécessairement m = n •+- p. Soient d’ailleurs n' le nombre des racines positives , et p' le nombre des racines négatives; on a" encore m = n p ; d’où l’on déduit n -+- p = n' ■+■ p' .

Or, on vient de voir que n ne peut être ]> », et p' ne peut être p; donc il faut que l’on ait n' = », et //=/>.

317. Remarque. Lorsqu’une équation manque de quelques termes , on peut souvent, au moyen de la règle précédente , reconnaître la présence de racines imaginaires.

Soit, par exemple, l’équation

*• x% ■+• px •+■ q = 0,

p et q étant essentiellement positifs ; rétablissons le terme qui manque , en l’afTcctant du coefficient ± 0 ; il vient x3 dfc 0 .x’ -+- px •+- q = 0.

En n’ayant égard qu’au signe supérieur, on ne voit que des permanences, tandis que le signe inférieur donne deux variations. Cela prouve que l’équation a des racines imaginaires ; car, si elles étaietat toutes trois réelles, il faudrait, en vertn du signe supérieur, qu’elles fussent toutes trois négatives, et, en vertu du signe inférieur, qu’il y en eût deux positives et une négative, résultats contradictoires.

On ne peut rien conclure si l’équation est de la forme x3 — px -t- q — 0 ;

car, rétablissons le ternie ± 0 .x3 ; il vient

x3 ± 0 .xJ — px ■+■ q — 0 ,

équation qui présente une permanence et deux variations , soit que l’on prenne le signe supérieur, soit que l’on prenne le signe inférieur. Ainsi, cette équation peut avoir' ses trois racines réelles , savoir : .deux positives et une négative ; ou bien elle a deux racines imaginaires et une négative, puisque son dernier terme est positif (n° 314).

MÉTHODE DES RACIHE9 COHMEHSUBABLE8.

Passons actuellement à l’exposition des diverses méthodes de résolution des équations numériques.

§ II. — RECHERCHE DES RACINES COMMENSU RABLES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES.

318. Les racines réelles coihmensurables doivent être l’objet des premières recherches. Ces racines peuvent être entières ou fractionnaires.

Observons d’abord que toute équation dont le premier terme a pour coefficient V unité, et dont tous les autres coejficiens sont des nombres entiers, ne peut avoir pour racines commensurables que des nombres entiers.

En effet, soit l'équation * .

xm Px"'— 1 -t- Q-r"1-» -i- . . . . Tjt -t- U — 0 ,

dans laquelle P, Q....T, U, sont des nombres entiers; et supposons qu’elle puisse avoir pour racine tin nombre fractionnaire commensurable, tel que | ; il vient , par la substitution ,

am

a™ — i dm — 2 J. a

-r: + P; -+- 0“ hT7+ü=0;

d’où, multipliant toute l’équation par bm—>, et transposant.

- - = — Pa“- » —

ubre de eetlo égalité se compose d'une suite , tandis que le premier membre est essen- >airc : car a et b pouvant toujours être sup- '|î eux, il en est de même ( Arilh ., n° 134) *e égalité ne saurait exister. Doue, il est ^Ljombrc fractionnaire commensurable satis-

( n° 265) comment, étant donnée une vicions sont rationnels, niais fractionnaires, •r en une autre dont les coc'flicicns soient terme conservant d’ailleurs l’unité pour

at&THODE DES RACINES C01WEXSURABLE8. 4üî)

Passons actuellement à l’exposition des diverses méthodes de résolution des équations numériques.