II. — RECHERCHE DES RACINES COMMENSURABLES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

318. Les racines réelles coihmensurables doivent être l’objet des premières recherches. Ces racines peuvent être entières ou fractionnaires.

Observons d’abord que toute équation dont le premier terme a pour coefficient l'unité , et dont tous les autres coefficiens sont des nombres entiers , ne peut avoir pour racines commensurables que des nombres entiers.

En effet, soit l’équation ' * -■

-+- Pj-™— > -+- Qx"1 - J -+- . . . . -4- Tx U 0 ,

dans laquelle P, Q....T, U, sont des nombres entiers; et supposons qu’elle puisse avoir pour racine un nombre fraction-

naire commensurable, tel que il vient , par la substitution ,

am ah,~~l am~ a J. a '

lyn I" X I.

bm ' * b’"— « ' x b" d’où, multipliant toute l’équation par bm— *, et transposant, am

— - = — Pa">-‘ — Q am~*b — .. .. — Tab”1-* — U bm.

Or, le second membre de cette égalité se compose d’nne suite de nombres entiers, tandis que le premier membre est essentiellement fractionnaire : car a et b pouvant toujours être supposés premiers entre eux, il en est de même ( Arith ., n" 134) de a’” et 4; donc cette égalité 11e saurait exister. Doue, il est impossible qu’aucun nombre fractionnaire commensurable satisfasse à l’équation.

Cela posé, On a vu ( n° 265) comment, étant donnée une équation dont les coefficions sont rationnels, mais fractionnaires, on peut la transformer en une autre dont les coëlliciens soient entiers , son premier' terme conservant d’ailleurs l’unité pour

MÉTHODE

coefficient. Ainsi , dès que l’on aura établi une méthode pour trouver les racines entières d'une équation à coefficient entiers, le premier terme ayant d’ailleurs l’unité pour coefficient , il sera ensuite facile d’obtenir les racines commensurables (entières ou fractionnaires) de toute équation à coelficiens quelconques , mais rationnels.