À cet effet, reprenons l’équation générale

xm -4- P-r'"— • -4- «... -f- Rx3 -+- Sx3 -4- Tx U = 0 ,

P, Q...R, S, T, U étant des nombres entiers.

(Pour l’exposition de la méthode, il faut nécessairement écrire les quatre ou cinq derniers termes. )

Désignons par a un nombre entier, positif ou négatif, qui doit vérifier l’équation, et cherchons à quelles conditions il doit satisfaire pour en être racine.

Si a est racine , on doit avoir l’égalité

am -t- P am 1 -4- . . * . -4- Ra3 •+- Sa 2 -4- Ta *4- U = 0. . . . (1) j

donc , si l’on remplaçait a par tous les nombres entiers positifs et négatifs compris entre les limites -4- Let — L' (n° 310) des racines positives et négatives ,, ceux qui vérifieraient l’égalité ci-dessus seraient reconnus racines. Mais on conçoit combien ces essais seraient longs et pénibles ; on a donc cherché à déduire de l’égalité (1), qui est une condition nécessaire et suffisante, d’autres conditions équivalentes et plus simples à vérifier.

Transposons tous les termes, excepté le dernier, et divisons par a; l’égalité (1) se trouvera mise sous la forme

-= — a1"—' — Pam~» — ....— Ra* — Sa — T.... (2); a

or le second membre de cette nouvelle égalité est un nombre

entier; donc il faut que — soit un nombre entier. Ainsi, déjà les

racines entières de l’équation sont comprises parmi les diviseurs du dernier terme.

Transposons actuellement, daus l’égalité (2), le terme — T,

UES RACINES CORS EN Sll RABLES. 461

et divisons par a; il vient, en posant, pour plus do simplicité,

£-= — am—7 — Pa'"-3.... — Ra — S.... (3);

le second membre de l’égalité (3) est un nombre entier ; donc il

faut que — , ou le quotient de la division de f-T, par a, soit un

nombre entier.

Transposons de nouveau le terme — S, et divisons par a; il

vient, en posant

— =— a™-3 — Pam-4— — R.... (4);

le second membre de cette égalité est un nombre entier; donc §/ T'

il faut que — , ou le quotient de la division de f- S , par a , soit

un nombre entier.

En continuant ainsi de transposer dans le premier membre, tous les termes du second, on parviendra, après la [m — iy«"«

transformation, à une égalité de la forme — = — a — P.

Transposant enfin le terme — P, divisant para, et posant . .

on trouve — = — 1, ou , — (-1=0.

Cette égalité, qui n’est d’ailleurs qu’une transforipée de l’égalité (1), est la dernière condition à laquelle il faut et il suffit que le nombre entier a satisfasse pour être reconnu racine..

En rapprochant les conditions précédentes , on peut conclure que pour qu’un nombre entièr a, positif ou négatif, soit racine de l’équation proposée, il faut

Que le quotient du dernier terme divisé par a soit entier ; 1

Qu’en ajoutant à ce quotient le coefficient de x 1 ( pris avec son signe ) , le quotient de cette somme divisée par a soit entier ;

Qu’en ajoutant à ce nouveau quotient le coelficient de x’, le

MÉTHODE

quotient de cette nouvelle tomme divisée par a toit entier; et ainsi de suite;

Qu’enfin, si l’on ajoute le coefficient du second terme de l’équation, ou de xm— 1 , au quotient précédent, le quotient de la nouvelle somme divisée par a soit entier et égal à —1 ; ou bien encore , que le résultat de l’addition de l’unité ou du coefficient de xm au quotient précèdent soit égal a 0.

Tout nombre qui satisfera à ces épreuves réunies sera racine; et ceux qui n’y satisferont pas devront être rejetés.

320. Afin de déterminer à la fois toutes les racines entières d’une équation, voici la marche qu’il convient de suivre :

Après avoir déterminé tous les diviseurs du dernier terme ( Arith., n° 148 ) , on écrit sur une même ligne horizontale , et tant avec le signe + qu’avec le signe — , les \ diviseurs compris entre les limites + L et ; — 1/ , puis , au-dessous de cet diviteurs, les quotient du dernier terme divisé par chacun d’eux.

On ajoute ensuite a chacun des quotiens le coefficient de x-‘ , ce qui donne des sommes que l’on place au-dessous des quotient qui leur correspondent, puis on divise ces nouvelles sommet par chacun des diviseurs , ce qui donne des quotiens que l’on écrit au-dessous des sommes correspondantes ( on a le soin de rejeter les quotiens fractionnaires et les diviseurs qui ont donné ces quotiens) ; et ainsi de suite.

Observons en outre que , si quelques termes manquent dans l’équation particulière proposée, il faut en tenir compte, en regardant chacun de leurs coefficiens comme égal à 0.

- Enfin , il est inutile d’nppliquor la méthode aux diviseurs + 1 et — 1 , parce que leur substitution dans l’équation réduit le premier membre à la série des coefficiens ; et il est facile de s’assurer directement si ces deux nombres satisfont ou ne satisfont pas à l’équation.

Soit, pour premier exemple, l’équation

xi — x3 — 13x3 + 16x — 48 = 0.

La limite supérieure des racines positives de cette équation est 13+1 ou 14. [On ne considère pas ici le coefficient 48, parce'que les deux derniers termes revenant à 16 (x — 3), dès que l’on fait x>3, cette partie est essentiellement positive.]

DES RACIlfES COM MRS SL R A BLES. 463

On trouverait d’ailleurs- ( n° 210 ) pour la limite supérieure des racines négatives , — ( 1 + 1^48 ) , ou — 8 .

Cela posé, le# diviseurs de -48, moindres que 14, sont 1, 2, 3, 4, 6,8, 12; d’ailleurs aucun des deux nombres +1, —1, no satisfait à l’équation, car le coefficient — 48 est à lui seul numériquement plus grand que tous les autres réunis; ainsi, l’on ne doit soumettre aux épreuves que les diviseurs positifs compris depuis 2 jusqu’à 12, et les diviseurs négatifs compris depuis — 2 jusqu’à — 6.

Voici le tableau des calculs, d’après la marche indiquée :

La première ligne est celle des diviseurs; la seconde, celle des quotiens de la division du dernier terme , — 48 , par chacun des diviseurs.

La troisième est la ligne des quotiens que l’on vient d’obtenir, augmentés du coefficient +16 de la proposée, et la quatrième celle des quotiens de ces sommes divisées par chacun -des diviseurs; eette seconde condition exclut d’abord les diviseurs + 8 , ■ — 6 , et — 3 ■

La cinquième est la ligne des quotiens précédeqs augmentés du coefficient — 13 de la proposée, et la sixième colle des quotiens des nouvelles sommes par chacun des- diviseurs ; cette troisième condition exclut les nouveaux diviseurs 3, 2, — 2, et — 0.

Enfin, la septième est la ligne des troisièmes quotiens, augmentés du coefficient — 1 de la proposée, et la huitième celle des quotiens des dernières sommes par chacun des diviseurs. Il n’y a que les diviseurs +4 et — 4 qui donnent — 1 ; donc +4 et — 4 sont les seules racines entières' de la proposée.

En effet, si l’on divise æ-4 — a-3 — 13rJ+16x — 48, par le

MÉTHODE

produit (x — 4) (x + 4), ou xa — 16, il vient pour quotient, x1 — x+3, polynôme qui, égalé à zéro, donne

x = 2±2,/llî

ainsi les quatre racines sont 4, — 4, et

321. Remarque. Comme, dans les applications de la méthode, on peut commettre quelques erreurs d’addition ou de division , et laisser ainsi échapper quelques racines, il est convenable, après avoir divisé le premier membre de la proposée par chacun des facteurs du premier degré, correspondant aux racines déjà obtenues, il est convenable, dis- je. A’ appliquer de nouveau la méthode à. l’équation résultante , qui. est d’un degré plus simple, et dont les coefïïciens sont aussi généralement plus simples que ceux de la proposée.

Tl y a même une circonstance où cette équation résultante peut encore admettre des racines commensurables , sans que l’on ait commis aucune erreur : c’est lorsque la proposée renferme des racines égales commensurables. Comme la méthode des racines égales est plus compliquée que celle des racines commensurables, il faut toujours, une équation numérique étant donnée , commencer par la soumettre à la méthode des racines commensurables. Or, celle-ci suffit bien pour obtenir les racines différentes; mais elle n’indique pas si une même racine n’entre qu’une fois ou se trouve plusieurs fois dans la proposée. On peut s’en assurer de deux manières : ou bien en soumettant de nouveau à la méthode l’équation qui résulte de la suppression des racines déjà mises en évidence; ou bien en essayant la division du premier membre de cette équation par les facteurs du premier degré qui correspondent aux racines trouvées.

Soit, par exemple, l’équation

x5 — lox'* + 67x3 — 171x,+216x — 108=0.

La limite supérieure des racines positives de cette équation est 13, d’après la décomposition (n°308); d’ailleurs, elle n’a pas de racines négatives , puisque l’équation ne présente que des variations de signe ( n° 31 1 ).

UES RACISES COS.VEXSl BARLES.

Los diviseurs de 100, au-dessous de 13, sont

d’ailleurs, +1 ne satisfait pas à l’équation, caron trouve"' — 0 pour résultat de la substitution de +1 ; ainsi 2, 3, 4, 6, 9, 12, sont les seuls nombres à soumettre aux épreuves.

On reconnaît, par l’application de la méthode , que 3 et 2 sont racines de la proposée. <■ ■ *

Effectuant la division du premier membre de cette équation par (x — 3) (x — 2), ouxJ — 5x + 6, on tronve pour quotient,

qui , soumise elle-même à la méthode , se trouve avoir encore + 3 et +2 pour racines.

Divisant cette dernière équation ppr x’ — 8x + 6, on obtient x — 3 = 0, d’où x=3; ainsi la proposée peut se mettre sous la forme (x — 3)3(x — 2)’ = 0.

322. Réglé d'exclusion. Lorsque le nombre des diviseurs du dernier terme , qui se trouve compris entre les deux limites + L et — L', est très grand , on peut restreindre le nombre des essais par une règle d’un usage facile.

Soit l’équation x^-t-Px"'— * + Qx'"— >+ . . . +Tx + U = 0, dans laquelle nous supposons toujours que les coefbciens soient entiers.

On sait que , a étant racine de cette équation , son premier membre est divisible par x — a; ainsi l’on a l’identité

x» + Px"'-i + ... + Tx-J-U=(x— a) (xm - ' + P x™ - *+ . . . +T'x + U');

P', Q'. . .T', U', sont, d’après la loi de formation du n° 238, des

nombres entiers aussi bien que a, P, Q , T, U. Cela posé,

comme l’équation précédente doit se vérifier, quel que soit x, faisons x=l ; il vient

d’où

le second membre de celte égalité est un nombre entier ; donc il doit en être de mémo du premier, membre ; ainsi a étant un

, MÉTHODE

nombre entier positif ou négatif, ne peut être racine qu’autant que (1- — a) ou plutôt (a — 1) divise le résultat de la substitution de + 1 dans la proposée.

On prouverait de même, en faisant x = — 1, que — (l+o) Ou (a + 1) doit diviser le résultat de la substitution de — 1 ; d’où résulte la règle suivante :

-Substituez successivement +1 et — 1 dans la proposée , et désignez par M et M' les valeurs numériques des résultats de cette double substitution.

(Si l’un des résultats était 0, auquel cas +1 ou — 1 serait racine , il faudrait commencer par supprimer cette racine dans la proposée avant d’appliquer la règle.)

1° Tout diviseur positif du dernier terme, qui, diminué de 1, ne divise pas M , et qui, augmenté de 1 , ne divise pas M', doit être rejeté.

2° Tout diviseur négatif dont la valeur numérique , augmentée de 1 , ne divise pas M , dintinuée de 1, ne divise pas M', doit être

rejeté.

Afin de mettre plus facilement en évidence ces deux caractères d’exclusion , il convient de décomposer d’abord les deux résultats M et M' dans leurs diviseurs ( Arith., n° 148 ).

Soit, pour exemple, proposé de déterminer les racines commensurables de l 'équation

*4 5x3 37x, + 257ir 360 = 0.

La limite supérieure des racines positives de cette équation est

37 + 1 ou 38, parce que 257x — 360 revient à 257^x — 5

la limite supérieure des négatives est — (1 + 1/360) ou — 20. Les diviseurs de 360 , que l’on doit soumettre aux épreuves de la méthode du n° 320 , sont donc

et — 1,-2,— 3, —4, —5, —6,— 8, —9, —10, — 12,— 15, — 18;

le résultat de la substitution de + 1 dans la proposée est , en faisant abstraction du signe, 144 ou 2'». S3; le résultat de la substitution de — 1 est 648 ou 2*. 3*.

DBS RACINES C0JIXENSEBABI.E8.

Cela pose, passons d'abord en revue les diviseurs positifs, à partir de 36 qui est le plus grand.

86 — 1 , ou 85=7 x 5, ne divise pas 144 qui est égal à 24. 8’; ainsi 36 doit être rejeté.

On rejettera , par la même raison , 30,24,20,18,15,12.

10 — 1, ou 9, divise 144; mais 10 + 1, ou 11, ne divise par 648 qui est égal à 2B .84} ainsi 10 doit être rejeté.

On reconnaîtra encore que 9, 8, 6, 4, doivent être rejetés; è’està-dire que les seuls diviseurs positifs qui satisfont à la règle, sont 5,3, et 2. -

Quant aux diviseurs négatifs: 18 + 1, ou 19, ne divise pas 144; ainsi — 18 doit être rejeté.

15 + 1, ou 16, divise 144; mais 15 — 1, ou 14, ne divise pas 648; donc — 15 doit être rejeté.

On verrait pareillement que —12, — 10, — 9, — 8, — 6, — 4, doivent être rejetés. Ainsi, l’on ne doit soumettre aux épreuves de la méthode du n° 820, que les diviseurs — 5, — 8, et — 2, En appliquant la méthode aux diviseurs

on reconnaîtra que 5 est le seul qui remplisse toptes les conditions , et qui soit par conséquent racine do la proposée. Effectuons la division par x — 5 ; il vient pour résultat ,

équation qui ne saurait avoir de nouveau 5 pour racine , puisque 5 ne divise pas 72. Ainsi cette équation n’a plus que des racines incommensurables, réelles ou imaginaires.