Voici de nouveaux exercices

1» jr4 5x3 + 25x — 21 = 0.

2° I5*5 — 19*4 + 6x3 + 15*’ — io* + 6 =0.

3° 9.r6 + 30*5 + 22*4 + lOx3 + 17*’ — 20* + 4=0,,

[Pour résoudre les deux dernières équations, il faut d’abord faire disparaître le coefficient du premier terme, d’après la règle

4G8 MÉTHODE DSS R ACTIVES COBHEIVSl'RABLES.

«lu n" 265 ; appliquer ensuite La méthode du n” 320 .aux deux

transformées ; et , après avoir obtenu les racines entières de ces

transformées, substituer dans l’cquation x = * qui a servi à

la transformation, les valeurs des racines obtenues.]

324. Ce qui précède suffit pour la détermination des racines commensurablcs de toute équation numérique dont les coefliciens sont rationnels, entiers on fractionnaires. Cependant nous observerons qu’il y a des questions dont les énoncés conduisent à des équations de degré supérieur , et qui , par leur nature, n’admettent que des nombres entiers pou r solutions ; c’est-à-dire que toute solution fractionnaire, çommensurable ou incommensurable, doit être regardée comme tout-à-fait étrangère à la question. , • • • .

Soit , par exemple , -proposé de déterminer la base du système de numération dans lequel le nombre 3147, écrit dans le système décimal , serait représenté par V ensemble des chiffres 32042 (système cherché ).

Désignons par x la base inconnue; 2, 4x, 0. x% 2x3, 3x4, expriment les valeurs relatives des chiffres 2, 4, 0, 2, et 3,

du nombre 32042 ; ainsi , l’on a l’équation

nubien 3x4 + 2x3 + 4x — 2145 = 0,

à résoudre en nombres entiers et positifs; car x doit être, par sa nature, un nombre entier absolu.

Or, pour peu qu’on réfléchisse sur la méthode exposée n° 320 pour trouver les racines entières d’une équation dont le coefficient du premier terme est l’unité , on verra qu’elle est également applicable au cas où le coefficient du premier terme est un nombre entier quelconque; la seule différence, si l’équation est, par exemple, de la forme

Axm ■+■ Pxm 1 -+- Qxm— » -4- .... -j- Sxa -+- Tx -t- U = 0 ,

consiste en ce que, quand on est parvenu a la dernière des conditions que comporte la méthode , le résultat, au lieu d’être égal à — 1 , doit être égal à — A.

On peut d'ailleurs reconnaître l’exactitude de celte assertion,

RECI1ËHCI1E DES BITISECRS Wi 2', 3e, . . . DEGRÉ. 4(54)

en reprenant les mêmes transformations et les memes raisonuemens que ceux qui ont été faits n° 319.

Ainsi, pour trouver les racines commensurables entières d'une équation dont le premier terme a un coefficient différent do l’unité, il est inutile d’avoir recours à la disparition de ce coefficient, transformation qui (n° 265) a l’inconvénient de conduire à une équation dont les coefliciens sont, en général, très grands. D’après cela , recherchons les racines entières de l’équation

La limite supérieure des racines positives est (n° 307)

le nombre 2145 est décomposable ( Arith ., n° 148) en. . . •>x5xllxl3; ainsi , il n’y a lieu à essayer que les nombres 3 et *5;

Le seul nombre 5 donne pour dernier résultat, — 3, ou le coefficient du premier terme , pris eh signe contraire ; donc cinq est la base du système cherché.

Ln effet , 32042 , écrit dans le système quinaire , équivaut , dans le système décimal , à

ou, en effectuant, 3x625 + 2x 125 + 4x5 + 2 = 2147.

On pout s’exercer sur les exemples suivans :

1° Déterminer la base du système de numération dans lequel /«29 (système décimal) est représenté par 5563 (système cherché). [,r = onze.] ,

2° La base du système dans lequel 81479 (système décimal)est représenté par 456356 ( système cherché ). [ x = sept.]

470 RBCDBRCHE DES DIVtSEÜBS DD 2®, 3°, • . . DEGRÉ.

Recherche des diviseurs commensurables du second degré .

325. Observations préliminaires. La méthode des racines commensurables, exposée n° 32Q, est aussi appelée méthode des diviseurs commensurables du prefnier degré , parce que , connaissant une racine commensurable , entière ou fractionnaire, d’une équation, on peut (n° 237) diviser le premier membre par le facteur du premier degré en x, correspondant à cette racine; et les coeiliciensde ce facteur sont nécessairement commensurables eux-mêmes.

Lorsqu’une équation numérique est débarrassée de ses diviseurs commensurables du premier degré , l’équation résultante n’a plus'que des racines réelles incommensurables et des racines imaginaires; mais on conçoit que plusieurs des facteurs du premier degré, qui correspondent à ces racines , quoique ayant des coefiicicns incommensurables , peuvent fort bien , par leur combinaison deux à deux, donner naissance à des produits dont les coefficiens soient rationnels ; c’est ainsi que

Or, si l’on avait quelque moyen de découvrir, dans une équation , les diviseurs commensurables du second degré , en les égalant à 0 , on en déduirait des racines de l’équation proposée ; et, de plus, on les obtiendrait sous leur véritable forme.

Nous allons voir comment les principes de l’élimination et la méthode du n° 320 conduisent à ce but.

326. Soit X = 0 une équation débarrassée de ses diviseurs commensurables du premier degré.

Désignons par x3 + px + q l’un quelconque des diviseurs du second degré de X ; et q sont deux indéterminées dont il faut tâcher d’obtenir les valeurs en nombres commensurables , s’il est possible.

Pour cela , divisbns X par x1 -*- px ■+■ q ; et concevons que l’on ait poussé l’opération jusqu’à ce qu’on soit parvenu à un reste du premier degré en x, de la forme Mx + N , M et N étant des indéterminées fonctions de p et de q. Eu égalant ce reste à 0, on