RECHERCHE DES RACINES INCOMPENSE R ARLES

établira la condition que x* -+- px -+- q devienne diviseur exact de,\; d’ailleurs, cette division doit se faire indépendamment de toute valeur particulière attribuée à x; donc , en vertu du principe n° 180 sur les équations identiques , l’équation Mx +N »e partagera nécessairement en deux autres

M = 0 , N = 0 , ou bien , F [p, q) — 0 , F' ( p , q) = 0.

Cela posé , la question se réduira à trouver (en nombres comnunsurables ) tous les systèmes de valeurs de p et de q propres à vérifier ces deux équations.

On commencera par former , d’après les méthodes connues , T équation finale en p , à laquelle on appliquera la méthode des racines comment arables (n° 320). Après avoir obtenu toutes les vileurs rationnelles de p , on les substituera (n0 270) dans le reste du premier degré par rapport à q, lequel reste , égalé ensuite à 0 , donnera les valeurs rationnelles de q , correspondantes aux valeurs de p déjà trouvées. Enfin, l’on substituera chacun des systèmes de valeurs de p et de q dans le trinôme x’ + px + q ; ce qui donnera autant de diviseurs commensurables du second degré. ■*

Il est évident que l’équation finale en p doit être d’un degré

marqué par m , m étant le degré de l’équation , puisque

c’est l’expression du nombre total des diviseurs commensurables ou incommensurables du second degré. D’après cela, on peut juger combien cette méthode, facile en théorie , est compliquée dans la pratique. Aussi l’usage en est-il peu fréquent.

On voit assez ce qu’il faudrait faire pour obtenir les diviseurs commensurables du 7>ièmc , •4“™"’... degré; mais ces dernières questions ne sont d’aucune utilité (*).