III. RECHERCHE DES RACINES RÉELLES INCOMMENSURABLES

Lorsqu’on a débarrassé une équation de tous les diviseurs du premier degré qui correspondent à ses racines commensurables,

(*) Dans une des notes placées a la fin de ce chapitre , nous nous proposons de dire quelques mots sur lu décomposition d’un polynôme rationnel et entier quelconque en ses facteurs premiers.

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l'équation résultante n’admet plus que des racines réelles incommensurables , ou dçs racines imaginaires. ,

La véritable forme des racines réelles incommensurables d’une équation d’un degré quelconque, restera inconnue tant qt’on n’aura pas de méthode générale pour résoudre les équations algébriques de degré supérieur. Mais si la détermination de kur forme est encore un problème à résoudre , il n’eu est pas aii si de la valeur numérique de chacune de ces racines ; et il existe 1 des méthodes pour les obtenir avec tout le degré d’approximition qu’on peut désirer.

Poèr plus de simplicité, nous diviserons cette théorie en deux parties : dans la première , nous supposerons que la proposée soit telle qu’cHE secir racine réelle puisse être comprise entre deux nombres entiers consécutifs ; et, dans la seconde , que deux noiqbres entiers consécutifs puissent comprendre plus d’une racine. • ' . ’ '

Première partie. Cas- où une seule racine réelle peut être comprise entre deux nombres entiers consécutifs.

[Nous admettrons encore, dans tout ce qui va suivre, que l’on ait déterminé les limites + L et — L', les plus resserrées possibles, soit par la méthode des décpmpositions (n° 308), soit par la méthode de Newton (n° 309).]

327. Recherche de la partie entière. — Chacune des racines incommensurables étant nécessairement composée d’une partie entière (qui peut quelquefois être 0) et d’wna partie plus petite que l’unité t le premier objet dont nous avons à nous occuper, consiste à déterminer la partie entière de chaque racine.

Pour cela , on substitue à la place de x , dans l’équation , la suite naturelle des nombres, 0, 1, 2, 3, . . . et — 1, — 2, — 3, ... compris entre + L et — L'. Comme, entre deux nombres substitués qui donnent deux résultats de signes contraires, il tombe au moins une racine ( n" 303), il s’ensuit que chaque couple de nombres donnant des résultats de signes contraires , comprend une racine réelle, et n'en comprend qu’une seule , d’après l’hypotlièsc établie. D’ailleurs , la partie entière de la racine est le plus petit des deux nombres qui la comprennent.

ür, il peut arriver deux cas : ou l’on obtient , par toutes ces