MÉTHODE D’APPROXIMATION DE LAGRANGE
substitutions , autant de changement de signe* (ou de couples de résultats de signes contraires) qu’t/ y a d’unité s dans le degré de l’équation ; et alors on en conclut que toutes les racines sont réelles. Ou bien, le nombre des changemens de signé est moindre que le degré de l’équation ; auquel cas , il y a autant de racines réelles que de changemens de signe ; et les autres racines sont imaginaires .
Dans les deux cas , cette méthode de substitution fait connaître la partie entière de chaque racine réelle ; et il reste a déterminer la partie plus petite que l’unité.
MÉTHODE d’aPPROXISATION DE LAGRANGE.
328. Soit X = 0 une équation dont les racines réelles sont respectivement une partie entière différente que l’on suppose avoir été déjà déterminée.
Désignons par a èt a + 1 deux nombres entiers qui comprennent l’une d’elles; a exprime alors la partie entière de cette racine.
Pour obtenir la partie plus petite que l’unité , posons dans
l’équation X = 0, ou x'n + Par'”—» + . . . + Tx + V = 0,
!.. ' x—a + ; il en résulte la transformée
Aym + À'ym— 1 + ym-),+__ym 3+... + ]=0.
[Pour obtenir cette transformée, on commence par remplacer x par- x -+• u, ce qui donne ( n° 262 )
A désignant ce que devient X quand on y met a pour x, et A', A", . . . étant des polynômes dérivés de A d’après la loi
établie n° 262; puis on remet - pour u, et l’on chasse les dénominateurs en g. ]
Appelons, pour simplifier, Y = 0, cette transformée, qui est de même degré que la proposée, et a par conséquent m racines.
Or, puisque la relation x = a + - doit donner toutes les valeurs
MÉTHODE d'aPPROXMATIOM
do x dès que l’on connaît les valeurs de y, et que, par hypothèse, a et a + 1 comprennent une valeur de x et n’en comprennent qu’une seule , il faut nécessairement que , parmi les valeurs réelles de y,' il y en ait une plus grande que 1, et qu’il ji’y en ait qu’une seule; autrement, ce serait supposer que a et a + 1 comprennent plus d’une valeur de x.
Si donc, dans l’équation Y— 0, on met successivement pour y, les nombres entiers 1 ,2.3,... à partir de l’unité, on est certain d’obtenir tôt ou tard un changement de signe ; et les deux nombres qui auront produit ce changement de signe comprendront la valeur cherchée de y.
Soient h et b + 1 ces deux nombres ; posons dans Y = 0 ,
y = b + — ; il en résulte une transformée Y, = 0 , ( que l’on y x
obtiendra par le moyen indiqué ci-dessus); et cette équation, parmi ses racines réelles, en aura encore une seule plus grande que 1 , que Ton mettra en évidence par la substitution dos nombres entiers 1,2,3,. . . dans Y, = 0.
Soient c et c + 1 les deux nombres entiers qui , ayant dû produire un changement de signe, comprennent la valeur de y,.
On posera dans l’équation Y, = 0, y, = c -t — ; ce qui donnera
la nouvelle transformée Y, = 0, ayant une seule racine plus grande que 1.
Soient d et d ■+• 1 les deux nombres qui la comprennent , on
posera de nouveau dans Y, = 0, y, —d h ; et l’on continuera
cette suite de transformations aussi loin que l’on voudra. Rapprochons maintenant les relations
x — a -t- y —o -+- — , y, =ch , y, = a —
Or, on sait que, dans une fraction continue, plus on prend de fractions intégrantes, plus on approche de la valeur du
il en résulte x — a +
DE LEGHANG8.
nombre qu’elle représente; et le degré d’approximation est exprimé ( Arith., n° 174) par N étant le dénominateur de la dernière réduite.
Ainsi la méthode qui vient d’être exposée , donnera la valeur de x , avec tel degré d’approximation que l’on voudra.
829. Appliquons la théorie précédente à l’équation x3 3 — 0 (1).
D’abord les limites supérieures des racines positives et négatives sont, comme il est aisé de le voir,, +3 et — 2.
Soient mis successivement à la place de x , dans l’équation , les nombres
on obtient les résultats
et comme il y a trois cliangemens de signe , il s’ensuit que l’équation a ses trois racines réelles , savoir : une positive comprise entre 2 et 3; deux négatives comprises respectivement entre 0 et — 1, puis entre — 1 et — 2.
Occupons-nous premièrement de la valeur positive.
Posons dans l’équation (1) x \ il en résulte (n° 328) une équation de la forme
dans laquelle on a
d’où , substituant et changeant les signes,
476 , 'méthode d'approximation ,
Faisons dans cette équation , y = 1,2, 3,....;
il vient pour y = 1, — 9,
donc la valeur cherchée , de y, est comprise entre 2 et 3.
Posons dans l’équation (2). . . . y = 2 + - ; il en résulte la transformée
Byî + BV:+^y,+ fr8==0,
dans laquelle B = 5(2)3— 7(2)»— 6(2)*,— 1 =— 1,
d’où , substituant et changeant les signes ,
Comme celte équation revient à
il est visible que toute valeur plus petite que 26 , substituée pour y, , donnerait un résultat négatif.
Mais si l’on pose y, = 26, il en résulte. . . — 603 ,
et y, = 27, + 103 ;
donc y r est compris entre^26 et 27.
Posant dans l’équation (3). ...y, =26d — ,
on obtient la nouvelle transformée
rn rm
cy l + c'y! +y y> + £3 = °>
dans laquelle C = (26)3 26(26)» — 23(26) — 5 = — 603 , C' = 3(26)’ — 52(26)* — 23 = + 653 ,
rm :*■ , >
2T3=l « = + li
DB LAGRANGE. Ml
d’où , substituant et changeant les signes,
COSy’ - C S3y; - 52y, - 1 = 0.... (4), équation qui revient à celle-ci :
Comme y,— 1 donne pour résultat , — 103
et y, = 2 +2107,
il s’ensuit que y, est- compris entre 1 et 2.
En posant de nouveau y, = 1 + — ,
on obtiendrait, tout calcul fait, pour la transformée,
103y, — 451y* — 113Gy} — 603 =0... (5),
ou bien y) (103y3 — 451) — 1156y3 — 603 = 0.
Or il est facile de reconnaître que la valeur de y3 est comprise entre 6 et 7 ; en sorte que, si l’on voulait continuer l’opération,
il faudrait poser y3= 6 + — .
Mais arrêtons-nous aux résultats déjà obtenus.
Les valeurs de x, y, , y, , y3 , y4 donnent lieu à la fraction
continue x = 2 + - — r ;
et les réduites consécutives étant
il s’ensuit que la dernière exprime la valeur de x à moins d’une fraction près, marquée par oan^89'
En réduisant Li— eu décimales , et poussant l’opération jus-
qu’aux 100000'"'“ inclusivement , on trouve 2,49086, résultat qui est censé exprimer la valeur de x à moins de 0,00001 près. Cependant, comme cette valeur est trop faible, pour deux rai-
