METHODE (('APPROXIMATION DE LAGRANGE

sons , 1° parce que la réduite -^rz est de rang impair, 2° parce

«)Od

que 2,49086 est une fraction moindre que cette réduite, il serait possible que le dernier chiffre 6 dût être augmenté d’une unité.

Mais si l’on substitue successivement 2,49086 et 2,49087 dans la proposée , on trouve deux résultats de signes contraires. Ainsi 2,49086 représente en moine, à 0,00001 près, la racine positive de l’équation proposée.

Quant aux deux racines négatives, observons que, si l’on change x en — x dans l’équation (1), elle devient >

-> x3 — Sx + 3 = 0;

et les racines positives de la nouvelle équation, prises avec le signe — , donneront les racines négatives de la proposée. Ainsi la question est ramenée à la recherche des racines positives de la transformée qu’on vient d’obtenir.

Or, en répétant sur cette transformée des calculs analogues aux précédens , on trouve

1° pour la racine comprise entre 0 et 1 , ... . 0,65662 ;

2° pour la racine comprise entre 1 et 2 , . . . . 1,83424. Donc, enfin , les trois racines de l’équation

x3 — Sx — 3 = 0,

sont x = 2,49086, x = — 0,63662, x = — 1,83424.

(On reconnaît en effet que la somme algébrique des trois racines est nulle ; ce qui doit être, puisque le coefficient du second terme manque dans l’équation.)

330. Remarque. — En réfléchissant sur la méthode précédente , on voit qu’elle suppose essentiellement qu’entre les deux nombres entiers a et a + 1 , il ne tombe qu’une seule racine de la proposée ; puisque ce n’est qu’à celte condition que l’on peut affirmer que chacune des transformées a une seule racine plus grande que l’imité, et, par conséquent, que la substitution des nombres 1, 2, 3,... à la place de y, y,, ya, dans ces transformées, doit produire tôt ou tard un changement de signe.

Cependant, lorsque l’on connaît d’avance le nombre des racines comprises entre a et a + 1, il est possible que la méthode réussisse. (F oyez le 3e exemple du n" 333.)