MÉTHODE DE I.AGRA3GE
Supposons , pour fixer les idées , que n cta+1 comprennent deux racines et rien comprennent que deux. En substituant
a + - pour x, on obtiendra une transformée qui aura deux
racines plus grandes que l’nnité , et n’en aura que deux. Or , quand on mettra pour y la suite des nombres 1, 2, 3, .... il se présentera deux circonstances :
Ou bien l’on n’obtiendra aucun changement de signe; et, dans ce cas , on ne pourra rien conclure, c’est-à-dire que la méthode sera alors en défaut , en ce sens qu’il faudra de nouvelles transformations pour opérer la séparation complète des racines ;
Ou bien cette substitution produira deux chnngcmens de signe. Admettons, pour le moment, que les nombres n et n + 1, p et p + 1, produisent respectivement ces changemens de signe.
On posera d’abord dans la transformée, y = »-j ; ce qui
donnera une nouvelle transformée ayant une seule racine plus grande que l’unité, et sur laquelle on pourra opérer comme précédemment ; alors une première valeur de x sera exprimée par une fraction continue dé la forme
ri A
T ri' +
Posant ensuite dans la même transformée en y, y =p + —,
on obtiendra une nouvelle transformée ayant une seule racine plus grande que l’unité , et sur laquelle on opérera encore comme précédemment ; la seconde valeur de x se présentera donc sous la forme d’une nouvelle fraction continue,
ayant la même partie entière que la précédente, mais dont les fractions intégrantes seront différentes.
Il serait aisé d’étendre ces raisonnemens au cas où l’on saurait
COXVERSIOX DES SOXBllES IRRATIORHEIS
d’avance que à et a + 1 comprennent trois racines réelles. . . . Mais ce que nous venons de dire suffit pour prouver qu’il n’y a d’avantage bien réel , dans l’emploi de la méthode de Lagrange, qu’autant que a et a + 1 ne comprennent qu’une seule racine. Cependant, nous exposerons plus loin (n° 354) un moyen général d’opértr la séparatiorfdes racines, dans la pratique de cette méthode. , t
Conversion en fraction continue d’un nombre irrationnel quelconque.
331. La méthode d’approximation par les fractions continues peut servir à évaluer les racines de degré quelconque dès nombres. '
Soit P un nombre absolu dont il faut extraire la racine mième.
Si l’on pose \/P = x, il en résulte xm — P = 0.
Comme i = 0 et j = P + 1, substitués à la place de x dans cette équation, donnent deux résultats de signes contraires, il s’ensuit qu’elle a au moins une racine réelle positive. D’ailleurs , elle ne renferme qu ’une variation de signe j donc , d apres la règle Iles signes de Descartes (n° 315), elle a une seule racine réelle positive , que l’on peut obtenir approximativement par
la méthode de Lagrange; et l’on aura ainsi (/P sous la forme de fraction continue.
Soit, pour exemple , y/\ 1 à évaluer en fraction continue.
11 suffit d’appliquer la méthode du n° 328 à l’équation *3 — 11 = 0.
On trouvera successivement les relations
et par suite les réduites
Et» ïtwcnos comme e.
dont la dernière, convertie en décimales , donne 2,224 à 0,001 près, puisque l’on a évidemment ^ <^0,001 ;
( cette” valeur est un peu trop forte ), ^ •
332. Nous indiquerons à cette occasion le moyen de développer toute espèce de nombre ( absolu) en fraction continue. Ce moyen suppose seulement qu’on sache extraire d’un nombre donné la partie entière qui s’y trouve contepue.
Soient A le nombre proposé , a sa partie entière ( qu’on est censé saVoir trouver ).
On a d’abord , l’égalité. ......... A =a + ,
(B étant >1 ' ’t
d’où l’on déduit A — a, et B = .
, obtenue par un
Soit AJà partie entière! de B on de
moyen quelconque^ on a la nouvelle égalité. . . -. . . v. '.. . . . . . B = H + * , ( C étant ]> 1 ) ; >
d’où B — b, C:
b —b* ou C==c +
-=C-c, D = — , ou D = d + r
Et ainsi de suite.
Rapprochant actuellement les relations
on obtient finalement A sous la forme d’une fraction continue ,
N. B. Le procédé établi en Arithmétique ( 11” édit., n1! 167) n’est qu’un cas particulier de cette méthode générale.
