EU FRACTION COATIS CE

Sans aller plus loin , observons que cette expression est identique avec celle de B ; donc , puisque l’on a trouvé

on obtiendra de même

D = 2 + i, E = 4 + ii

et ainsi de suite* Donc enfin

A partir de la troisième fraction intégrante , les dénominateurs «e répètent périodiquement de deux en deux.

On trouverait, parle même procédé.

Tous les nombres irrationnel s du second degré jouissent de cette propriété carieuse , de donner naissance à des fractions continues périodiques. Nous ne pouvons en donner ici la démonstration , parce qu’elle dépend de l 'analyse indéterminée du second degré, pour laquelle nous avons déjà (n° 142) renvoyé à la Théorie des nombres, de Legendre.

La réciproque est vraie aussi, c’est-à-dire que toute fractions continue périodique appartient à un nombre irrationnel du second degré. La démonstration en est tout-à-fait élémentaire; mais elle n’est pas assez importante pour que nous prolongions davantage cette digression.