MÉTHODE I)* APPROXIMATION

MÉTHODE D’APPROXIMATION DE NEWTON . y

334. La méthode suivante, due à Newton, a l’avantage de fournit^ en général , des approximations plus rapides que celle de Lagrange. . ,

Pour en donner une première idée, reprenons l’équation

et proposons-nous de déterminer la racine comprise entre 2 et 3. Afin de resserrer davantage les limites de cette racine ,

posons, dans l’équation, . . . . . .» . . x = 2 + =2,5;

on trouve pour résultat. . '. . . -f' 0,125.

D’ailleurs 2 , mis à la place de x, donne — 5 ;

ainsi la racine est comprise entre 2 et 2,5.

Actuellement , si l’on fait attention que le résultat de la substitution de 2,5 diffère moins de 0 que le résultat de la substitution de 2, on doit en inférer que la racine est plu» près de 2,5 que de 2.

On pose , en conséquence , dans l’équation , . . . x = 2,4 ;

et il vient pour résultat, . . . . ‘ — 1,176 ;

or 2,5 avait déjà donné pour résultat, ...... +0,125;

donc la racine est comprise entre 2,4 et 2,5.

En continuant ainsi de substituer des moyens termes, on parviendrait à resserrer de plus en plus les deux limites de la racine. Mais lorsqu’une fois on a obtenu , comme dans ce cas-ci , la valeur de x à moins de 0,1 près, on peut en approcher davantage par un autre moyen ; èt c’est en cela que consiste principalement la MÉTHODE DE NEWTON.

Faisons , dans l’équation x3 — 5x — 3 = 0,

nous obtenons (n° 262) la transformée

X' + Yu + ^ ri‘ + u3 = 0,