Voici en quoi consiste Ja méthode générale

Soient p et/> + 1 deux nombres qui comprennent l’une des racines de l’équation X = 0. '* .

On commence par déterminer la valeur de celte racine à 0,1 prêt, en substituant une suite de nombres compris entre p et p + 1, et continuant jusqu’à ce que deux de ces moyens termes ne dif-

fèrent entre eux que de —

DE NEWTOS.

Cela posé , appelant x' la valeur de x obtenue à 0, l prêt, on

pote dant l’équation X= 0 , .. .

ce qui donne la transformée

qu’on peut écrire ainsi :

Comme, dans le second membre de cette équation, l’ensemble X'

dos termes qui suivent — — , est ordinairement au-dessous de

0,01, on let néglige en calculant •— à 0,01 prêt, et l’on ajoute

le rétullat à x'; ce qui donne une nouvelle valeur x", approchée de x, à 0,01 près.

Pour obtenir une 3° approximation, l’on j>ose , dant l'équation, x=.x" + u; . I

ce qui donne la transformée • * .

X" •+ Y "u -+- -s-n'*’ um =■ 0 ;

d’où

Négligeant tout let ter met —

%— Yé . (dont

l’ensemble est supposé moindre que 0,0001 ) on calcule — —

en pouttant l’opération jusqu'aux lü000^m'5 , et l’on ajoute le rétullat à x"; ce qui donne une 3e valeur x"’ approchée à 0,000 1 près.

Pour avoir une nouvelle approximation, on remplace x par x'" + U" dans la proposée. ' •

On calcule l’expression — qui résulte de cette trapsfor-

mation , et l’ou pousse l’opération jusqu’au 8e chiffré décimal inclutirement, puis l’on ajoute ce résultat h x'" ; et ainsi de suite.

488 MÊTItODE d’aI’PIIOXISATIOTI BE REWTOÎ1.

Ot» répète cette série d’opérations pour chacune des racines positives. Quant aux racines négatives , on ramène (n° 329) leur recherche à celle des racines positives , en changeant x en — x dans la proposée.

336. Premièri remarque. La méthode précédente est fondée sur ce que , dans la transformée

qui revient a u = — y*— ~ 1 ÿT*4’"'

on peut négliger tous les termes affectés de u2, m5, ut .... , sans erreur sensible sur les 100'*m*' à la première opération , sur les 10000'*"'" à la seconde , etc.; mais cette méthode est quelquefois en défaut, ainsi que Lagrange le prouve dans son Traité de la résolution des équations numériques .

On a toutefois un moyen de s’assurer , à la' fin de chaque opération , si la méthode a donné le degré d’approtimation que l’on croyait devoir obtenir.

Par exemple, pour reconnaître si 2,4908 exprime la racine positive de x 3 — 5x — 8 = 0, à 0.0001 près, on substitue, dans cette équation, 2,4908, puis 2,49Q9 ou 2,4907, suivant que le résultat de la substitution de 2,4908 est de signe contraire au ’ résultat de la substitution de 3 ou de 2 ; et si les deux nombres 2,4908 et 2,4909, ou bien 2,4908 et 2,4907, donnent deux résultats de sigqes contraires , nul doute que 2,4908 ne soit une valeur exacte à 0,0001 près, soit en moins, soit en plus. S’il n’en est pas ainsi , l’on augmente ou diminue le dernier chiffre, d’üne ou de plusieurs unités (de l’ordre des dix-millièmes ), jusqu’à ce qu’on obtienne deux nombres qui, par leur substitution , donnent deux résultats de signes contraires.

337 . Seconde remarque , Il y a aussi des cas où , dès la première

operation , il est nécessaire de calculer la quantité g— yr jusqu’aux 1000'*'"*', et même jusqu’aux 10000'*""''.

Soit l’équation . ■ #

RAPPROCHEMEXT DES becx méthodes.

do»it il est aisé de. s’assurer que l’une des racine* est comprise entre 2 et 3 ; quant aux deux autres , elles sont imaginaires ( comme nous le verrons n° 842).-

On reconnaîtra d’abord facilement, par la substitution dés moyens termes, que la racine réelle est comprise entre 2,9 et 3.

Maintenant, faisons dans l’équation, x = 2,9 + u; il en résulte la transformée

X' + YW + *3 = 0,

dans laquelle X'=(2,9)3 — 6(2,9) — 7 = — 0,011 ,

Négligeant les termes en u1 et «3, on a

Or, si l’on réduit cette expression en fraction décimale, on trouve des zéros pour les trois premiers chiffres décimaux , et S pour le 4e chiffre; c’est-à-dire que l’on a « = 0,0005 (en ne tenant compte que des quatre premiers chiffres décimaux ) ; ce qui donne pour la valeur de r, x = 2,9005.

. Pour vérifier cettp valeur , il faut substituer 2,9005 dans la proposée ; on trouve — 0,00138, résultat de signe contraire à celui que donne x= 3; mais en substituant x = 2, 900Q , -on obtient + 0,00054, qui esf de signe contraire à — 0,00138. Donc 2,9005 exprime la valeur de x, à 0,0001 près.

338. Rapprochement des deux méthodes. La méthode d’approximation de Lagrange, quoiqu’en général moins expéditive que celle de Newton , a sur celle-ci l’avantage de donner à chaque opération une approximation toujours certaine. . <■

On pourrait même à la rigueur trouver, par la méthode de Lagrange , les racines commensurables. La fraction continue que l’on obtiendrait, serait alors composée d'on nombre limité de fractions intégrantes; c'est-à-dire qu’en continuant les opérations convenablement, on parviendrait à une équation Y(„)=0 , dont