COMPLÉMENT DK LA MÉTHODE

il est nécessaire de débarrasser la proposée des racines égales qu’elle peut. avoir. ( Voyez n° 281.)

345. Seconde remarque. Quand l’équation proposée est du 3e ou du 4e degré, et qu’elle a ses coefficiens commensurables, il est inutile de lui appliquer la méthode des racines égales.

En effet, il résulte de la nature de cette méthode, laquelle consiste essentiellement dans la recherche dup. g. c. d. entre le premier membre de la proposée et son dérivé, qu’elle ne peut conduire qu’à un polynôme dont les coefficiens sont rationnels, comme ceux de la proposée. Or, dans le cas où l’équation est du 3* degré , le commun diviseur ( s’il en existe ) est du 1er ou du 2« degré au plus. S’il est du 1er degré, en l’égalant à 0 , on ne peut tirer de l’équation résultante qu’une racine commensurable. S’il est du 2' degré, le quotient du polynôme proposé , par ce diviseur, est du 1er degré et ne saurait encore donner qu’une racine commensurable. On voit donc qu'une équation du 3° degré dont les coefficient sont rationnels , et qui n’a pas de racines commensurables , ne saurait avoir de racines égales.

Lorsque l’équation est du 4' degré et n’a pas de racines commensurables , le p. g. c. diviseur ( s’il en existe) entre le premier membre ét son polynôme dérivé, ne peut être ni du 1" ni du 3° degré; car, dans l’une et l’autre hypothèses, on en déduirait que l’çquation a des racines commensurables; et s’il est du second degré, les facteurs de ce polynôme diviseur ne sauraient être égaux, puisqu’on en déduirait encore que l'équation a des racines commensurables. Mais si les deux faetçurs sont inégaux, il en résulte nécessairement ( n° 277 ) que chacun d’eux entre au carré dans le polynôme proposé qui est alors un carré parfait.

-Ainsi, dans ce cas, au lieu de soumettre l’équation à la méthode des racines égales, on peut se borner à extraire la racine carrée de son premier membre ; et si la racine n’est pas exacte, on en conclut que l'équation n’a pas de racines égales. ■

348. Troisième remarque. Ce qui précède suffit pour faire sentir combien l’application de la méthode du n° 341 est laborieuse, puisqu’elle suppose, outre la recherche des racines égales , la formation de l’équation aux carrés des différences. Or, dès que la proposée est d’un degré supérieur au 4°, les calculs