DES RACINES INCOMMENSURABLES

relatifs à la détermination de cette dernière équation sont impraticables par leur longueur. Il est- donc à propos de faire connaître quelques circonstances dans lesquelles on peut éviter tous ces calculs. ,

1° Si, en substituant les nombres 0, 1, 2...., — 1, — 2, — 3..... compris entre +L et — L', on obtient autant de changemens de signe qu’il y a d’unités dans le degré de la proposée , on est certain que toute s les racines de l'équation sont réelles , et que chacune d’elles a une partie entière différente.

2° Il peut se faire que, sans connaître les racines d’une équa- 4 tion, l’on sache,. à priori , combien elle doit avoir de racines réelles (la Trigonométrie en offre des exemples) (*). Cela posé, il se présente deux cas :

Ou la substitution des nombres 0, 1 , 2 . . . — 1 , —2. . . donne lieu à autant de changemens de signe que l’équation a de racines réelles ; dans ce cas, toutes les racines réelles sont encore mises en évidence , et chacune d’elles a une partie entière différente.

Ou bien le nombre des cbangemens de signe est moindre que celui des racines réelles. Comme, dans ce cas, on est assuré d’avoir laissé échapper quelques racines dont les différences sont moindres que l’unité , il faut tâcher de rendre ces différences

plus grandes. Pour cela, on fait, dans la proposée, x—^ , A étant

une indéterminée, ce qui donne la transformée Y=(>, dont les racines sont k fois plus grandes que celles de la proposée ( il en est par conséquent de même des différences). On donne ensuite à k différentes valeurs. Soit, en premier lieu, k — Z‘, substituant, dans Y=0, la série des nombres naturels, on voit si le nombre des changemens de signe devient égal au nombre des racines réelles que l’on sait devoir exister dans la proposée. Si l’hypothèse k = 3 ne réussit pas, on fait k = 4, 8...., jusqu’à ce qu’enfin l’on- obtienne pour la transformée correspondante le nombre de changemens de signe exigé.

(*) Voyez mon Traité de Géométrie analytique, pour la détermination, par des intersections de courbes, du nombre des racines réelles qu'une équation peut renfermer.

<500 THÉORÈME

N. B. Il faut bien observer ici qu’on suppose l'équation dépourvue de racines égales.

THÉORÈME DE M. STCRM (*).

Son application à la recherche des racines incommensurables.

C’est ici le lieu de faire connaître un fort beau théorème , à l’aide duquel toutes les racines incommensurables d’une équation peuvent être mises en évidence bien plus simplement qu’avec le secours de l’équation aux différences. '

Nous venons de voir (n° 348,2°) que, si l’on connaissait à priori le nombre des racines réelles d’une équation , l’on parviendrait aisément à leur détermination', puisqu’il suffirait alors de subdiviser convenablement l’intervalle * des substitutions successives. Or, le théorème de M. Sturm atteint complètement ce but , ainsi qu’on va le voir.

347. Soit X = 0 une équation a coefficient réels , que nous supposerons n’avoir pas de racines égales. Appelons X, son premier polynôme dérivé, et appliquons à X,X,, le procédé du p. g, c. diviseur relatif ( n°* 246, 259 ) , avec cette condition , toutefois , de changer le signe du reste de chaque opiratipn , et de prendre ce reste , ainsi modifié , pour diviseur de V opération suivante. ( Ce changement de signe est très utile à la clarté de la démonstration du théorème que nous nous proposons d’établir ici. )

Désignons d’ailleurs par X2, X3, X4, Xr, les restes suc-

cessifs, pris avec des signes contraires.

Nous pourrons exprimer la série des, opérations par le tableau

X =X[ qt. — X3

Xa = X3î3-X4

X,- — 3 —— Xj — 1 qr — 1 Xr /

(*) Ce jeune géomètre , déjà fort distingué par ses découvertes scientifiques, çst professeur de Mathématiques au collège Rollin. C’est en 1829 qu'il communiqua à l’Institut un mémoire comprenant ce théorème.

DE SI. 8TURM.

Xr est nécessairement indépendant de x et différent de zéro, puisque, par hypothèse, l’équation n’a pas de racines égales.

Concevons maintenant qu’après. avoir obtenu les fonctions X, X, , X,, . . .Xr,on y substitue pour x deu# nombres p et q, de signes quelconques (p étant <[y). D’abord, la substitution do p donnera pour chaque fonction un résultat généralement positif ou négatif (mais qui pourra quelquefois être nul ); et eii ne tenant compte que des signes de ces résultats, on obtiendra une suite de signes qui, écrits sur une même ligne, présenteront une certaine succession de variations et de permanences.

Pareillement , la substitution de q à la pla.ee de x donnera ùne seconde suite de signes présentant de même une certaine succession de variations et de permanences.

Or , le théorème en question consiste en ce que :

La différence entre le nombre des variations qu'offre la première suite de signes, et le nombre des variations de la seconde, exprime exactement le nombre des racines réelles de la proposée, qui se trouvent comprises entre p et q.

348. De là résulte la règle suivante pour déterminer le nombre total des racines réelles d’une équation.

Après avoir déterminé ( n° 310) les limites — L et +L' des racines négatives et positives, 1° on applique aux deux polynômes X, Xi le procédé du p. g. c. diviseur, avec la modification indiquée dans le numéro précèdent; cela donne une série de fonctions X, Xi, Xa , * • * Xr, qui sont, généralement, au nombre de ( + 1) , si m est le degré de l’équation ;

2° On écrit sur une première ligne les signes des résultats de la substitution de — L 'dans chacune des fonctions , et, sur une seconde ligne, les signes des résultats de la substitution de +L. ( Le signe de Xr doit rester le même , puisque Xr est indépendant de x.)

3” On compte le nombre de variations qu offre la première ligne, et le nombre de variations de la seconde. La différence entre ces deux nombres est l’expression du nombre total des racines réelles de la proposée.

Cette règle est d’un usage facile dès que l’on connait les fonctions X, Xi, Xa. . .; et si les opérations nécessaires à leur

THÉORÈME

détermination sont un peu laborieuses, on n’en doit rien conclure contre la simplicité de la règle ; car il y a identité entre ces opérations et celles que comporte la méthode des racines égales , méthode à laquelle il faut soumettre préalablement toute équation dont on recherche les racines incommensurables.

349. La démonstration du théorème ci-dessus repose sur plusieurs principes que nous allons d’abord établir.

Presièremekt. Considérons la fonction X en particulier, et soit a une racine réelle de X=0.Si l’on mçt a-\-u à la place de jt, dans X , on obtient (n°328 ) un résultat de la forme

A + A'a+ -5-w’ + + wm;

( A étant le résultat de la substitution de a pour x dans X , et

A' , A", A'", les polynômes dérivés de A d’après la loi

connue).

Comme, par hypothèse , a est racine do X = 0,- l’ou a A = 0 ; et l’expression précédente se réduit à

* / ktt A tu \

“r+lM+2l 0* .

Or, je dis qu’on peut toujours trouver pour u un nombre assez petit pour que la quantité entre parenthèses soit de même signe que son premier terme A' ( qui d’ailleurs est différent de zéro tant que X=0 n’a pas de racines égales ).

Il suffit , en effet , pour cela , d’obtenir pour u une valeur qui A" A"'

rende — , numériquement moindre que A'.

Or; nous avons vu (n° 303) comment on remplit cette dernière condition; ainsi il est toujours possible de satisfaire à la précédente. v

Il est en outre évident que , dès qu’on a obtenu pour l’indéterminée u une valeur remplissant cette condition , toute Valeur plus petite y satisfait à plus forte raison. '

330. Secondement. Si l’on conçoit que, dans les fonctions X, Xj, Xj , . . . . on remplace x par un nombre quelconque a , il

DE M. STBBX.

ne peut jamais arriver que deux fonctions consécutives s’évanouissent à la fois.

■» En effet, considérons les trois fonctions consécutives de rang quelconque , X„! , X„, X„+i.

On a (n° 349) l’égalité Xn—i = X„ q„ — Xn+i.

Or , si l’on pouvait atoir à la fois X„i = 0, Xn = 0 , on eu déduirait X„+i. == 0 ;

mais, comme on a aussi X„ = X»-*-i j<h-i — X„+>, il en résulterait encore X«-*-a = 0 ; et ainsi de suite. On parviendrait alors finalement à l’égalité Xr — 0 ; ce qui est absurde puisque, la proposée n’ayant pas de racines égales , Xr ne saurait être nul.

' Troisièmement. La même relation Xn i = Xn q n . — Xn+i , nousapprend que, si une fonction Xn devient nulle par la substitution de x = a, les deux fonctions X„, , X'„+i , entre lesquelles elle est placée , sont nécessairement de tiques contraires pour la • même valeur x — a.

331. Ces principes admis , désignons par k un*e quhntité positive ou négative , mais moindre ( c’est-à-dire plus rapprochée de Y infini négatif) que toutes les racines réelles des équations

X = 0 , X, = 0 , X,=0, Xr— 1 = 0; et concevons

qu’en faisant croître x d’une manière continue (n° 303) à partir de k, en substitue toutes ses Valeurs successives dans les fonctions X , X, , X, , , » Xr.

Il est évident d’abord que les variations et les permanences fournies par les signes de ces fonctions et celui de Xr ( que nous savons déjà être cônstant), se reproduiront toutes et dans le même ordre , tant que x n’aura pas atteint une des valeurs qui rendent nulle quelqu’une de ces fonctions ; car, pour que le nombre ou l’ordre de ces variations et permanences vînt à so modifier, il faudrait que l’une des fonctions , Xn par exemple , changeât de signe, et par conséquent (n° 303) que X„ fût d’abord devenu nul ; ce qui est contre l’hypothèse.

Supposons actuellement qu'une valeur x — a rende nulle une ou plusieurs des fonctions; et voyons ce qui doit arriver.

Il peut se présenter deux circonstances : Ou x = a anéantira une(ou plusieurs) des fonctions intermédiaires X,, X,, X,,,..X/— i

THÊORÈHE

sans faire évanouir X; ou bien x = a anéantira X, pouvant d’ailleurs rendre aussi nulle une ou plusieurs des fonctions intermédiaires. Or je dis que, dant le premier eue, aucune variation ne disparaîtra dans le passage de x par les trois états, consécutifs a — u , a, a + u ( u étant l’intervalle des substitutions successives) ; que, dans le second, une variation disparaîtra, et qu’il n’en disparaîtra qu’une seule si u est suffisamment petit.

Considérons le premier cas, celui où la fonction X„,'par exemple , devient nulle pour x = a, sans que X le soit en même temps.

Comme, pour la même valeur x=a, X„ ■ et Xn+l , ne peuvent devenir nulles, et qu’elles sont de signes contraires (n° 350), il s’ensuit que les trois fonctions consécutives

formeront , quant aux signes , l’une des deux combinaisons

+ 0 — , ou — 0 + ;

et soit qu’on prenne 0 avec le signe + , ou avec le signe — , on voit qu’il en résulte une variation et une permanence.

D’un autre côté, chacune des fonctions Xn— i , Xn-».i , a dû conserver le même signe , pour les valeurs de x comprises depuis x=-k jusqu’à x = a ; et les signés ne doivent pas changer dans le passage de-r=aàx = a +u, puisqu’on peut toujours supposer u assez petit pour qu’aucune racine de X„i = 0, X«-n=0, ne soit comprise entre s eta-fu. .

On peut donc affirmer que les trois fonctions ci-dessus , qui , pour x=a, présentent une variation et une permanence, donnent également une variation et une permanence pour toutes les valeurs comprises depuis x = k jusqu’à x = a + u. Ainsi , l’hypothèse x = a , introduite dans la série des fonctions X , X, , X, . n’a fait perdre ni gagrier aucune variation. Passons au cas où X devient nul quand on y met a pour x. Soit fait x = a + u dans X et X, ; puis désignons par U, U,, ce que deviennent respectivement X ,-X„ par cette substitution. Appelons ( n° 349) A , A', A", . . . les résultats de la substitution do a pour x dans X et ses polynômes dérivés, puis, par analogie,

DE U. STCRJI. SOS

A,, A',, A",,. . . oe que deviennent X, et ses polynômes dérivés, par la même substitution ; nous aurons les deux égalités

Comme, par hypothèse , a est racine de X = 0 , on a nécessairement A = 0. De plus ,.les deux quantités A' et A, , exprimant l’uue et l’autre le résultat de la substitution de a pour x dans X, , n’en forment qu’une seule qui est différente de 0 , puisque X == 0 n’a pas de racines égales. Ainsi les deux égalités précédentes se changent en celles-ci :

dont les seconds membres sont nécessairement de même signe que leurs premiers termes k'u et A', lorsqu’on prend ( n° 3-49) pour l’indéterminée u une valeur suffisamment petite. On voit donc que U et U, sont de même signe quand u est positif, et de signes contraires quand u est négatif.

D’où il résulte que les signes des deux fonctions X , Xi , qui

présentaient d’abord une variation pour x = a — u,

forment ensuite une permanence pour x = a 4- “•

Ainsi, dans le passage dex=s — u à x — a 4* u> une variation s’est changée en une permanence.

La même conséquence aurait lieu lors même qufe x==a, qui satisfait à X = 0, anéantirait en même temps une ou plusieurs autres fonctions ; puisqu’on a vu précédemment que, quand quelqu’une de ces autres fonctions vient à s'évanouir, le nombre des variations ne change pas pour cela.

Maintenant, si, à partir de x = a 4- on continue de faire croître x par degrés insensibles, le nombre actuel des variations de la suite des signes domeurera le même jusqu’à ce que x vienne à dépasser une nouvelle racine de X = 0 ; auquel cas uno