REMARQUES

seconde variation disparaîtra , et se trouvera remplaoée par une permanence ; et ainsi de suite.

Donc, enfin, le nombre des variations perdues, lorsque x croît depuis une valeur quelconque k jusqu’à une autre valeur k', est égal au nombre des racines réelles de X = 0 , comprises entre h et k'.

Ce qui démontre évidemment le théorème énoncé n° 347.

351. Avant de passer aux applications , nous ferons plusieurs remarque^ fort importantes.

1° Dans la recherche des fonctions X , X, , . . . on peut introduire ou supprimer desdaoleurs numériques (n° 259 ), pourvu que ces facteurs soient positifs ; mais il faut bien prendre garde, quant aux signes , à ne faire que les changemens qui ont été indiqués n“ 347; puisque c’est de la considération des signes qui affectent les fonctions X, X, , X, . . . ., que-dépend principalement la méthode de M. Sturm.

2° Quand on veut simplement connaître le nombre total des racines réelles de l’équation proposée , il n’est pas nécessaire d’opérer la substitution des limites — L' et + L dans les fonctions X , X, ... : il suffit de substituer — oo et + oo dans lo premier terme de chacune d’elles ; puisque l’on sait ( n° 305 ) que le signe de la fonction est alors le même que le signe de ce premier terme. ‘ > • * . • . - , - »

La substitution de — oo et de + oo , dispense de déterminer d’abord les deux limites — L' et + L , qu’il faudrait d’ailleurs calculer de manière qu’elles convinssent'â toutes les fonctions si l’on ne voulait opérer la substitution que dans leur premier terme.

Nous ajouterons même qu’en faisant usage de la méthode de M. Sturm , on n’a besoin , dans aucun cas, de connaître à priori les deux limites L' et + L. En effet, après avoir reconnu d’abord combien il y a dé racines réelles dans la proposée , si l’on veut ensuite déterminer d’une manière plus précise le lieu des racines , il n’y a qu’à substituer successivement les nombres 0, 1, 2, S, . . ., et 0, — 1, — 2, ... ; et dè* que , parla substitution de 0, 1, 2, . . .■, on est parvenu à une suite de signes qui présente autant de variations qu’en avait donné la-substitution

SCR LE THÉORÈME DE M. STCBtt.

de + oo , on peut affirmer qu’il n'y a plus de racines au-delà du dernier nombre substitué. Même raisonnement par rapport aux nombres 0, — 1, — 2 , . 1 . .

On obtient ainsi les deux limites supérieures les plus resserrées ( en nombres entiers ) ; ce que ne donne pas toujours d’une manière bien certaine (n° 309) la méthode de Newton.

3° Si l’on cherche ensuite combien il. y a de racines réelles comprises entre deux nombres particuliers p et q, il peut se faire que p ou q rende nulle quelqu’une des fonctions. Dans ce cas , quand c’est une fonction intermédiaire , X„ , qui s’évanouit , on n’a pas besoin de tenir compte du résultat 0 dans la suite des signes ; car op a vu ( n° 350) que X„— i , Xn-t-i , offrent une variation pour eette même valeur de x ; or la combinaison

du double signe et, dontO est censé affecté, avec les signes-) ,

ou — +, ne donne encore qu’une variation. Ainsi le nombre des variations n’est nullement altéré par l’omission du résultat 0.

Lorsque c’est X qui s’évanouit pour x ~p, par exemple , on conclut d'abord que p est racine de X = 0 ; puis on compte les variations qui existent à partir de X,.

•4° Enfin , si , après avoir obtenu les fonctions X, X,, X, »... Xr, on vient à reconnaître que l'une des fonctions intermédiaires, Xn , est de nature à conserver constamment le même signe , pour toutes les valeurs comprises entre pelq{p étant g), il est inutile de substituer ces nombres dans les fonctions suivantes ; car autant la suite des fonctions jusqu’à Xn inclusivement ', présentera de variations de plus, pour x = p que pour x = q, autant il y aura do racines réelles comprises entre p et q.

Il suffit , pour s’en convaincre , d’appliquer aux fonctions X, X, , X, , . . . Xn , ce qui a été dit (n° 351) par rapport à toutes les fonctions. La suite des signes jusqu’à celui de X„ inclusivement, perdant une variation pour chaque racine de X = 0, et le nombre des variations n’étant nullement altéré par l’évanouissement de quelqu’une des fonctions Intermédiaires X, , X, . . . . X„i , puisque d’ailleurs Xn conserve toujours le même signe par hypothèse , il faut nécessairement qu’autant il y a de variations perdues dans la suite des signes de X , Xi . . .X„ lorsqu’on passe de x =p à x == q, autant il y ait de racines de X = 0 , comprises entré ces deux nombres. . .

soe

APPLICATIONS

On déduit de là le cas particulier suivant: si, dans le cours des divisions nécessaires à la détermination des fonctions X , Xi . . .Xr, on reconnaît qu’une certaine fonction , X„ , ne peut avoir que des racines imaginaires , comme alors elle ne saurait changer de signe (n° 313 ) , quelque valeur qu’on y substituât pour x, on n’a pas besoin de pousser plus loin les divisions; c’est-à-dire qu’il est inutile de déterminer Xn-+-r , • . .Xr.

Cette circonstance est très importante à retenir : car on ne peut se dissimuler que les calculs relatifs à la détermination des fonctions sont très pénibles , surtout lorsqu’on arrive aux dernières fonctions , à cause de la grandeur des coefficiens numériques.

( Voyez le et le 5‘i'ne des exemples du n° suivant.)

853. Faisons maintenant quelques applications, en ne considérant toutefois que des équations qui, par la substitution des nombres entiers consécutifs compris entre les limites , donnent moins de changemens de signe qu’il n’y a d’unités dans la proposée.

1er Exemple. 8x3 — 6x — 1 = 0... (1).

(Cette équation a déjà été traitée n° 343.)

On a d’abord X, = 24j’ — 6, ou plutôt, X, = 4x’ — 1, d’après la lr" remarque du n° 352.

Divisant X par X, , on obtient pour reste,

— 4x — 1 ; d’où X, = «b 4x + 1 .

La division de X, par X, , après les préparations convenables (n° 259, et 1” remarque n°352), donne pour reste, — 8; d’où. . . X, = + 3.

Ainsi l’on a, pour les fonctions cherchées,

Cela posé, la substitution de — oo et de + oo dans les premiers termes de ces fonctions donne les deux suites

— 3 variations

cc qui prouve que l’équation a ses trois racines réelles , puisqu’il disparaît trois variations dans le passage de — oo à -f-oo .

DI' TnËORÈXE DE S. STIR*. 500

Soit fait maintenant dans les mêmes fonctions, eæ — 1,0, + 1; on trouve

pour x — 1, — 4- — + .... 3 variation t,

Comme — 1 donne troit variations, et que 0 n’en donne qu’une seule, il s’ensuit que Oet — 1 comprennent deux racines.

Pareillement , 0 donnant une variation , et + 1 n’en donnant aucune, il y a une racine comprise entre 0 et 1.

Pour séparer les deux racines négatives, il faut (n° 840) resserrer l’intervalle des substitutions; mais , auparavant, il convient de changer xen — x , ce qui ramène l’équation (1) à

et les racines positives de cette nouvelle équation, étant prises avec le signe — , donneront les racines négatives de la proposée.

Actuellement, posons (n° 346) dans l'équation (2), x ; il

en résulte la transformée

Or, en faisant successivement y — 0, 1, 2,

on trouve pour résultats , +1, — 1, + 3;

donc les deux racines positives de l’équation (3) sont comprises, l’une entre 0 et 1, l’autre entre 1 et 2.

Appliquant à l'équation (3) l’une des deux méthodes d’approximation , et substituant les valeurs obtenues pour y, dans la

relation x = -, ou plutôt x = — | (à cause du changement

dex en — x), on aura , avec tel degré d’approximation qu'on voudra, chacune des trois racines de l’équation proposée.

JV. B. Pour le calcul de la racine positive de l’équation (1), on peut opérer directement sur cette équation.

2e Exemple. x3 — 5x’ + 8x — 1 = 0.

En opérant sur cet exemple comme sur le précédent , on trouve

X = x3 — Sx’ + 8x — 1, X. =3x’ — 10x + 8, X, = 2x — 31, X^— 2296.

APPLICATIONS

Or, la substitution de — oo et de +oo , dans les premiers termes dé ces fonctions, donne les deux suites

— ■+■ — — ... 2 variation s

d’où l’on voit que, dans le passage de — as à + c© , il n’y a qu’une seule variation perdue. Donc l’équation n’a qu’une Meule racine réelle , laquelle est d’ailleurs positive (n" 312), puisque lé dernier terme de l'équation est négatif. Il est aisé de reconnaître qu’elle est comprise entre 0 et 1.

3' Exemple, x 4 — 2x5 — 7x,4-10x4- 10 =0 . . . (1).

En appliquant à cette équation la règle du n" 347, on trouve

successivement X = x4 — 2x3 — 7x,-t-10x4-10,

Xi = 2xs — Sx’ — 7x-i-8,

H H h . . .4 variations,

donc les quatre racines de l’équation sont réelles.

Actuellement, soit fait successivement dans les fonctions,

il vient pour x =

. 2 variai.

puis pour x =

, 2 variai.

d’où l’on voit que l’équation a deux racines positives , comprises