DF THÉORÈME DE X. STI' RM

entre 2 et 3; une racine négative, comprise entre 0 et — 1 ; enfin une raeine négative, comprise entre — 2 et — 8.

Pour séparer les deux racines positives, on pourrait (n° 346)

faire dans l’équation, x — ^ , ou f ; mais on va voir que la

méthode d’approximation de Lagrange suffit pour opérer cette

séparation.

Soit, en effet, posé dans l’équation (1) , x = 2 h — ; il vient, tout calcul fait (n° 328), la transformée 2y4 — 10y3-É-5y,-+-6y-»- 1 =0,

qui a nécessairement deux racines plus grandes que l’unité.

nt successivement y= 1, 2, 3, 4, • 5,'

on trouve pour résultats, -t- 4, — 15, — 44, — 23, -<-150;

d’où l’on voit que les deux valeurs de y sont comprises , l'une entre 1 et 2, l'autre entre 4 et 5 ;

. C’est-à-dire que les deux valeurs de x seront exprimées par deux fractions continues de la forme

et x=2-+

et l’on pourra déterminer chacune de ces fractions continues séparément. [Voyez les n°* 330 et 354.)

N. B. Dans cet exemple , après avoir obtenu les fonctions Xj = 17xJ — 23x — 45, X3=152x — S05, il n’était pas nécessaire d’effectuer la division de X, par X3, opération assez longue sous le rapport des calculs numériques.

En effet , ce qu’il importe de connaître , dans l’application de la méthode de M. Sturm , oe n’est pas la valeur numérique du dernier reste , mais bien le signe de ce reste , afin d’en déduire ensuite celui de X,, lequel est constant, ainsi qu’on l’a vu.

Or, on sait (n° 237) que, quand on divise une fonction entière de x par un facteur de la forme x — a, le reste n’est autre chose que le résultat de la substitution de a au lieu de x dans la fonction. Ainsi le signe du reste de la division de X> par X3 , doit