SI

être le même que celui qui résulterait de la substitution dans l'équation Xj=0 (ou 17x’ — 23x — 45 = 0), de la racine donnée par l’équation X3 = 0, (ou 152x — 305=0).

Mais l'équation X =0, dont les racines sont de signe» contraires, donne pour la positive, 2 , 4, à 0,1 près; tandis que la

racine de X3=0, est x=2-+-yi^. vo*t donc que cette racine

est comprise entre les deux racines de l’équation X» = 0, et que, par conséquent, si on la substituait dans le polynôme X3, on obtiendrait (n° 111, 1°) un résultat de signe contraire au premier terme de X, , c’est-à-dire négatif.

Or, puisque le reste de la division de Xa par Xs, est négatif, il s’ensuit que la fonction X„ est positive.

(Cette remarque fait suite à la quatrième du n° 352.)

4® Exemple. 2x4 — 13x’-+- lOx — 19=0 (1).

Les fonctions X, X, , X, . . . étant calculées d’après la règle du n° 347, on trouve d’abord pour les trois premières,

Xa=13x’ — 15x -+-38.

Or, je dis qu’il est inutile d’aller plus loin, et de calculer X3etX.j. En effet, il est aisé de voir que les racines de l’-équation Xa=0, sont imaginaires, puisque l’on a (18)’ — 4.18.38<[0(no 111, 3°); d’où il résulte que Xa ne peut changer de signe, quelque valeur qu’on donne à x. Ainsi la 4° remarque du n° 352 , est applicable à cet exemple ; et il suffira de considérer les trois fonctions X, X, , Xj.

Qr , en substituant successivement — eo et -t-oo dans leur premier terme , on obtient les deux suites

-+- — -H .... 2 variations

ce qui démontre que l’équation a deux racines réelles et deux racines imaginaires. Les racines réelles sont d’ailleurs l’une positive et f’aufrenégative (n° 312), puisque le dernier terme de l’équation est négatif.