AVEC LA HËTUODE DE LAGRANGE

5" Exemple x5 — 36x3-+-72x’ — 37x-t-72 = 0.

(Nous nous bornerons ici à présenter le tableau (lu calcul.)

( Le signe de X5 se détermine, comme dans le troisième exemple, en observant que la racine de X4=0, est évidemment plus grande que la racine positive de X-3=0.)

Or x— — co donne — — 1 n . ... 4 variât.

x^ + co + H — H -t- • » » • 1 Meule j

donc l’équation proposée n’a que troi» racines réelles. Mais si , avant d’appliquer la méthode actuelle, on eût d’abord substitué les nombres entiers consécutifs , on aurait reconnu facilement que chacun des couples de nombres , 4 et 5, 5 et 6, — 0 et — 7, donnent deux résultats de signes contraires. Donc les trois racines réelles ont respectivement pour partie entière, 4, 5, et — 6 ; les deux autres racines sont imaginaires.

Ces exemples nous paraissent suffisans pour donner une idée de toute l’importance du théorème de M. Sturm , et du parti qu’on peut en tirer dans la résolution des équations numériques.

354. Nous ajouterons cependant encore que, quand on a reconnu , par la substitution des nombres entiers consécutifs dans les fonctions X, X, , Xa. . ., combien il y a de racines réelles entre deux de ce's nombres, a et a-t- 1, la combinaison du théorème avec la méthode de Lagrange donne le moyen de séparer ces racines sans qu’on soit obligé de recourir à la transformation du n° 346, laquelle devient très laborieuse quand les racines sont très peu différentes les unes des autres. Voici en quoi consiste ce moyen : , ;

On substitue a-t- ^ a. la place de x, non seulement dans X, mais

encore dans toutes les fonctions X, , X, . . . ; puis on xj fait successivement y =1 , 2, 3 - • .-«La différence entre les deux nombres de

■ ÉNONCÉ n'un AUTRE THÉORÈME.

variations, résultant de la snbstitution de deux de ces nombres, b et è-f- 1 , est égale au sombre des valeurs de x, comprises 1 . 1

entre a-»- et a- t-- — , .

Si cette différence est égule à 1, on conclut que la transformée

qui résulte de la substitution de a-t- - à la place de x dans X=0,

n’a qu’ane seule racine comprise entre b et A-+-1 ; et l’on peut facilement (n° 330) obtenir la fraction continue correspondante.

Mais quand cette différence est égale à 2, 3, . . . on én déduit que la transformée en y a deux, trois,... racines comprises

entre b et b-+- 1. Alors on remplace y par b-t- ^ dans les fonc r-

tions X, X, , Xj . . . . (qui sont déjà exprimées en y) ; puis on y fait successivement i= 1 , 2,3.... La différence entre les deux nombres de variations , résultant de la substitution de deux de ces nombres , c et e-t- 1 , est égale au nombre de' valeurs de x com-

prises entre an - et a—

On voit aisément que, par ce moyen , toutes les, valeurs de x comprises entre a et a + 1 , pourront se développer en autant de fractions continues ayant pour partie commune une ou plusieurs fractions intégrantes à partir de a.

355. M. Sturm a étendu son théorème au cas où l’équation proposée admet des racines égales ; mais nous n’entrerons dans aucun détail à ce sujet , puisqu’on peut toujours (n° 281) faire dépendre la résolution de l’équation, de celles drautres équations qui n’ont que des racines simples. Il en a également déduit d’autres conséquences fort curieuses, mais qui ne sont pas indispensables pour la résolution des équations (*).

Nous renvoyons, pour de plus amples détails sur la résolution des équations numériques , aux ouvrages suivans : Traité de la résolution des équations numériques , par Lagrange; Supplément à la théorie des nombres , par Legendre ; Nouvelle méthode pour

(■) Voyez le n° 399 , cliap. IX , pour line autre application (lu théorème.

COMPLEMENT DE t’EUaiNATION. 'g | g

résoudre les équations numériques , par M. Budan ; Analyse des équations , ouvrage posthume de Fouricr.

On trouvera dans ces deux derniers ouvrages un théorème qui a quelque analogie avec celui de M. Sturni , et qui parait avoir été découvert à peu près dans le meme temps par MM. Fourier et Budan ; en voici l’énoncé :

Soient f[x ) un polynôme entier du degré »', f{x) , f"(x) , f"[.r) , ... ses dérivés. Appelons p et q deux nombres réels de signes quelconques ( p étant <ÿ); et concevons qu’on ait substitué successivement p et q dans la suite de ces fonctions ; ce qui donne les deux résultats ,

1" pour/», Ap)>f{p) ,/"(?),..• •

2“ pour q, /(?) , f{q) , /"(?)...•

Le théorème consiste en ce que les signes de la première suite ne peuvent jamais présenter moins de variations que ceux de la seconde ; et si p et q comprennent un nombre k de racines réelles, la première suite a au moins k variations de plus que la seconde.

Ce théorème, beaucoup moins explicite que celui de M. Sturm, qui , dans aucun cas , ne laisse d’incertitude sur l’existence de racines réelles entre des nombres déterminés , fournit cependant une méthode assez complète de résolution (*).

§ IV. — suite de l’élimination.

356. Après avoir fait connaître les dilTérens moyens de résoudre (du moins en nombres réels) les équations d’un degré quelconque à une seule inconnue , il convient de s’occuper de la résolution des équations à plusieurs inconrtues.

Lorsque le nombre des équations proposées est égal à celui des inconnues, elles n’admettent, en général, qu’un nombre limité de systèmes de valeurs pour ces inconnues. Or , la détermination complète de tous ces systèmes constitue le problème général de V élimination. •

(*) Voyez aussi, pour le développement de ce théorème et pour les conséquences qu’on en déduit , une note placée à la fin de la 6” édition de mon Algbbre . ^

COMPLÉMENT DE l'ËI IMINATION.

Nous avons déjà exposé (n°* 267 et suivans) une partie, de ce problème, celle qui a pour objet de former V équation finale, c’està-dire une équation , fonction d’une seule des inconnues , qui donne toutes les valeurs de cette inconnue, propres à vérifier les équations proposées en même temps que certaines valeurs des autres inconnues.,

La seconde partie consiste à résoudre l’équation finale , et à déterminer les valeurs des autres inconnues, correspondant à celles de l’inconnue qui entre dans cette équation.

Nous considérerons plus particulièrement ici le cas de deux équations à deux inconnues.

357. Avant d’entrer dans tous les détails relatifs à la seconde partie de l’élimination, il est nécessaire derevenir sur la manière dont on forme l’équation finale.

Lorsqu’on emploie la méthode par le commun diviseur, pour éliminer l’une des inconnues, on parvient bien à une équation qui fournit toutes les valeurs convenables de l’autre inconnue ; mais cette équation donne aussi, en général, des valeurs étrangères'; c’est ce que nous nous proposons de faire voir actuellement.,

( Peur abréger, nous conviendrons d’appeler solution de deux équations en x et y , tout système de valeurs de x et de y, qui , substituées à la fois dans ces équations , y satisfont , c’est-à-dire» pendent leurs premiers membres identiquement nuis.)

Soient donc deux équations d’un degré quelconque ,

et , après avoir ordonné les premiers memhres par rapport à x , par exemple, appliquons-leur le procédé du plus grand commun diviseur, avec les modifications qui ont pour objet de rendre les quotiens et les restés entiers. (Nous supposerons d’ailleurs, pour le moment, que, dans le cours du calcul, on ne supprime aucun facteur fonction de y ; car on verra plus tard que ces facteurs , ’ égalés à 0, peuvent donner des valeurs convenables.)

Désignons par a , a', a", . »v. les différons facteurs introduits, ccs facteurs étant , en général, des fonctions de y; soient en outre , Q , Q', Q" ; . . . . R , R', R®, . . . . lès qnotiens et les restes successifs. . , -,

COMPLÉMENT DE l.'É 1.1311 NATION. 517

La série des opérations donnera lieu aux identités suivantes :

a'R = RQ' + R'. (2),

«W R(»-») = Rt— O QW + RW. . (n+t 1) ; '

(RW est supposé le reste indépendant de x et fonction de y seulement.)

Cela posé , l’identité (1) fait voir que toute solution du système [A = 0,B=d0] satisfait nécessairement à R=0,;caraetQ étant des polynômes entiers en x et en y , ne peuvent devenir infinis pour des valeurs particulières attribuées à x et à y. Ainsi les solutions du système [A == 0, B = 0] conviennent au système [B = 0, R = 0].

L’identité (2) prouve également que toute solution du système [B=0, R=0] satisfait à R' = 0; d’où l’on peut conclure que les solutions du,système [A = 0, B = 0] conviennent encore au • système [R=0, R'=0].

L’identité (3) démontre que toute solution du système [R =0, R'=0] satisfaità R"=0. Donc, les solutions de [A = 0, B=0] conviennent au nouveau système [R' = 0, R" = 0]. Et ainsi de suite.

D’où il résulte enfin que toutes les solutions du système proposé [A = 0, B = 0] se trouvent nécessairement comprises dans le dernier système [ R (n — 0 = 0 , R W = 0 ] .

Ainsi l’équation RW =*= 0 renferme toutes les valeurs convenables de y.

Je dis maintenant qu’elle doit renfermer, en général, des valeurs étrangères.

Pour cela , reprenons les identités (1), (2), (3). . . {n + IJ.

On reconnaît par l’identité (1) que toute solution du système [B = 0, R=0] satisfaità a A =0. Or cette dernière équation se divise en deux autres, a = Ô et A— 0; d’où il suit que les solutions de [B = 0, R = 0] comprennent non seulement les solutions du système proposé [\A = 0, B = 0], mais encore toutes les solutions du système [« = 0, B = 0]. . *>

COSPtÉHEJIT DE l’ÉLIMISATIOK.

Do même, à cause de l’identité (2), toute Solution de [R = 0, R' — 0] satisfait à a'B=0, qui peut être décomposée en deux autres équations , a' =0 et R =0; donc les solutions de [R=0, R' = 0] comprennent les solutions du système [B = 0, R = 0], et celles du système [a' = 0, R = 0]. Mais on vient de voir que le système [B = 0, R = 0] renferme déjà toutes les solutions des deux systèmes [A = 0, B = 0] et [a = 0, B=0]; donc, le système [R = 0, R'= 0] renferme toutes les solutions des trois systèmes

En continuant ces raisonnemens , on verra que le dernier système [R("—0 = 0, RW= 0] comprend non seulement toutes les solutions du système proposé [A = 0, B=0], mais encore toutes les solutions des systèmes

[c=0, B=0], 0'=°> R=0],.. .[aM=0, R(»-0=0].

358. Si l’on était certain qu’en substituant dans l’équation B = 0 , chacune des valeurs de y que donne « = 0, on pût tirer du résultat de cette substitution une ou plusieurs valeurs de x , toutesdes solution» qu’on obtiendrait ainsi se trouveraient dans [R(n— 0 = 0, R” = 0], et seraient étrangères à [A = 0, B = 0}. Dès-lors, pour débarrasser RM = 0 des valeurs de y qui correspondent à ces solutions étrangères , il suffirait de diviser RM par a, qui, comme on l’a déjà vu, n’est fonction que de y.

Même raisonnement par rapport aux autres facteurs, a, introduits dans le cours du calcul.

11 suit de là 'que, si l’on divisait RM par le produit.... a X a' X a". ... X aM , le quotient résultant , égalé à 0, donnerait la véritable équation finale (*).

Mais il n’en est pas toujours ainsi , parce que telle valeur de y, tirée de o=0 ( laquelle, dans tous les cas, doit anéantir le. coef&cient du premier terme de B ) , peut aussi anéantir les coefficiens des puissances inférieures de * jusqu’à la première inclusivement ; et , dans ce cas , il n’y aurait aucune valeur de x correspondante.

(*) Voyez la deuxième note placée à la fin de Ce chapitre.

COSPLLHtvr DE l’EUXIDATIOR.

359. L’exemple suivant éclaircira ce que nous venons de dire. Soit proposé d'éliminer entre les deux équations

Pour éliminer x entre ces deux équations, il faut, en prenant’ le polynôme (1) pour dividende, et le polynôme (2) pour diviseur, il faut, dis-je, multiplier (1) par le facteur (y1 — 3y + 2), coefficient du premier terme du diviseur.

Cette préparation faite , on effectue la division , ce qui donne pour reste,

( — Zy5 + 8y4 — 5y3>r + 2y4 + 2y3 — 6y + 4 . . . . (Z),

Prenons maintenant le polynôme (2) pour dividende , et le reste (3) pour diviseur.

Comme le coefficient du premier terme de ce reste, savoir : — 3y5 + 8y4 — 5y3, revient à — y3(3y * — 8y + b ) ,

ou bien encore , à — y3(y — 1) (Zy — 5), et que le coefficient du premier terme du polynôme (2), savoir : y’-3y + 2,

peut se décomposer en (y — 1) (y — 2),

il s’ensuit que, pour obtenir des quotiens et des restes entiers, il suffit de multiplier le polynôme (2) par y6(y — 1) (3y — 4)2.

Effectuant cette multiplication, puis la division du polynôme (2) ainsi préparé , par le reste (3) , on objjent un certain quotient qu’il est inutile d’écrire ici ; et le dernier reste, c’està-dire le polynôme indépendant de x , égalé à 0, donne

27y'°— 136y3 +214y8 — 112y7 + 65y6— I00ys .

Voyons maintenant quels peuvent être les facteurs étrangers renfermés dans cette équation.

1° Comme on a multiplié le premier membre de l’équation (1) par le facteur (y’ — 3y + 2), qui , étant décomposé, revient à (y — 1) (y — 2j, il s'ensuit que l’équation (4) peut contenir comme facteurs étrangers les deux binômes (y — 1) et (y — 2).

COMPLÉMENT BE l’éLIBI NATION.

Cependant il est aisé de vérifier que cette équation n’est pas satisfaite par y — 1 , mais qu’elle l’est par y — 2 ; le quotient de la division par '(y — 2) est exact et égal à

Pour comprendre comment le facteur (y — 1) ne fait pas partie du polynôme (4) , il suffit d’observer que si l’on fait y = 1 dans l’équation (2), le premier membre se réduit à une quantité indépendante de x; et alors il n’en résulte aucune valeur correspondante pour x.

Au contraire , soit posé y — 2 dans l’équation (2) ; elle se réduit à x — 5 = 0, d’où x= 5; c’est-à-dire que les deux équations

y* — gy + 2= 0 ,

cl (y5 — 3y + + (y — l)x — 3y + 1=0,

admettent pour solution unique les valeurs x == 5 et y = 2.

L’équation (4) doit donc contenir le facteur (y — 2) qui correspond à cette solution , mais ne peut renfermer le facteur (y — 1) auquél ne répond aucune solution.

2° Dans la seconde opération principale , pour rendre la division possible, on a introduit le facteur y6(y — 1) (3y — 5)1.

Mais il est facile de reconnaître qu’aucun des facteurs simples dont se compose ce produit , ne peut entrer dans l’équation

finale ; car en faisant y — 0 , ou y = 1 , ou y = 9 , dans le

reste (3) égalé à 0 , la partie affectée de x disparaît , et il n’en rësülte aucune valeur pour x.

. En général , l’introduction du facteur ai") ( n" 357 ) dans le reste qui précède le reste du 1er degré n’ influe jamais sur l’équationfinale , parce que les valeurs de y, tirées de ce facteur égalé à zéro', réduisent le reste du premier degré à une quantité numérique ; donc il ne peut y avoir aucune valeur de x correspondante.

Traitons encore le même exemple , en prenanlle polynôme (2) pour dividende, et le polynôme (1) pour diviseur.

Il faut, pour cela , multiplier (2) par y3, coefficient du premier terme de (1).

.. j COMPLÉMENT DE l'ÉI IMINATION. 821

Cela fait , on effectue la division , ce qui donne un certain quotient et un reste du premier degré , savoir :

Prenons à son tour le polynôme (1) pour dividende, et le reste (6) pour diviseur.

Comme le coefficient du premier terme de ce reste revient à y 3 (3y2 — 8y + 5) ,

ou bien, à y3 (y— 1 ) (3y — 8) >

et que le coefficient du premier terme de (1) est y3, il suffit de multiplier (1) par y3 (y — 'l)a (3y — 5)*. ,

Après cette préparation , On effectue la division , et l’on obtient pour reste indépendant de x,

27ys — 8‘2y8 + SOy" — 12y® + 41y5 — 18y4 — 6y3 — 36y’ + 48y — 16 ,

résultat identique avec le quotient (S) qu’on avait obtenu en divisant le reste (4) par le facteur (y — 2).

Ici, aucun des facteurs introduits dans le cours du calcul ne se retrouve dans l’équation finale; et la raison en est que le facteur y3 par lequel on a multiplié (2) , étant égalé à 0 , le diviseur (I) se réduit à une quantité indépendante do x ; par conséquent il n’y a aucune valeur de x qui corresponde à y =s= 0.

360. Si l’on a bien compris ce qui s’est passé dans l’exemple précédent, on entendra facilement la règle suivante, pour débarrasser l’équation finale des facteurs étrangers qu’elle peut renfermer :

Désignons par F (y) l’un quelconque des facteurs introduits dans le cours du calcul , et par

, bxn + ex"—' + dxn + . . . . + tx + u ,

le reste-diviseur qui lui correspond ; en sorte que les facteurs simples de F (y) soient des facteurs du coefficient b. m Premièrement , si, comme cela arrive lo plus souvent, F (y) est immédiatement décomposable en facteurs simples , on égale chacun d'eux à 0, et l’on en tire une valeur de y'.

Quand aucune de ces valeurs n’anéantit à la fois tous les coef-

COMl'lÉUEST DE LÉliaiNATICm.

ficiens b, c, d,..., jusqu’à t inclusivement , on est certain' que F (y) se trouve tout entier dans l’équation finale; et Von divise alors le premier membre de celte équation par ce facteur, lequel est etranger.

Si une ou plusieurs valeurs anéantissent à la fois b, c, d,.., t, les facteurs simples correspondais ne se retrouvent pas dans l’équation finale qui ne renferme de facteurs étrangers provenant de F (y), que les facteurs simples dont les valeurs ne rendent pas nulles à la fois b, c, d. . .t. On divise alors le premier membre de l’équation finale par le produit de ces derniers facteurs.

Secondement , si l’équation F (y) = 0 , ne peut pas être immédiatement résolue , on recherche le plus grand cqmmun diviseur entre F (y) cl tous les coejjlciens b, c, d,...t, {voyez n° 247). Si l'on n’en trouve pas, on peut encore regarder comme certain que F (y) se trouve tout entier dans l’équation finale, et on la débarrasse de ce facteur.

Mais s’il en existe un , soit F' (y) ce facteur commun ; on divise F (y) par F' (y), ce qui donne le quotient F" (y)' qui est alors le seul facteur étranger [provenant de l’introduction du facteur F (y)] que comprend l’équation finale. On divise ensuite le premier membre de cette équation par F" (y).

Ge‘ raisonnement s’appliquerait à tout autre facteur introduit.

{ Nous n’examinerons pas ici le cas où le facteur commun a b , c , d,. . .t , se trouverait aussi dans u; c’est une circonstance pour laquelle nous.renvoyons aux n°’ 366 , 373 et suivons.)

On voit donc qu’il est toujours possible de débarrasser l’équation finale des facteurs étrangers quelle peut renfermer, et cela, sans supposer connue aucune des méthodes pour résoudre une équation à une seule inconnue {voyez le numéro 270).

361. Première remarque. La méthode d’élimination par le p. g. c. d., appliquée à deux équations du second degré en x et y, conduit toujours à la véritable équation finale. .

En effet, on a vu (n° 116) que deux équations de cette espèce peuvent, être ramenées à la forme.

ux* + bx + c =±= 0 , et a'x% + b'x + <?' *=0 ,

a et a' étant des quantités connues ou numériques.

COMF1. ÉMEM DE l’ÉUMISATIOX.

Cela pesé , la première préparation à faire subir à l’un des polynômes, se réduisant à l’introduction d’un facteur numérique, ne peut influer sur l’équation Anale. Quant à la seconde, qui consiste à multiplier l'un des polynômes proposés par la seconde puissance du coefficient de x dans le reste du 1" degré a "x + b", nous avons déjà prouvé (n°3o9) que ce facteur introduit ne pouvait entrer dans l’équation finale.

Il en est de même toutes les fois que l’une des équations proposées est du second degré en x (quel que 'soit d’ailleurs le degré en y), pourvu que le coefficient de x’ soit une quantité numérique.

302. Seconde remarque. Le degré de l’équation finale à laquelle on parvient , fait souvent reconnaître la présence des facteurs étrangers. En effet, on a démontré (n° 302) que le degré de l’équationfinale ne saurait surpasser le produit des degrés des deux équations proposées. Si donc l’on parvient à une équation d’un degré plus élevé, on est certain qu’il y a des valeurs étrangères. Mais de ce que le degré est précisément égal au produit des degrés des deux équations, on ne peut pas conclure qu’il n’v a pas de valeurs étrangères ; car le degré de la véritable équation finale est quelquefois moindre que ce produit. Il peut même arriver que le degré soit nul, c’est-à-dire qu’il n'y ait pas d'équation finale ( voyez le numéro 308).

En général , le degré de l'équation finale est égal au nombre des solutions dont les équations sont susceptibles.

303. Passons actuellement à la détermination de tous les systèmes de valeurs propres à vérifier deux équations données.

Soient, pour premier exemple, les deux équations

, yx3 3x + 1=0...'. (1),

(y — 1) xJ + x — 2 = 0.... (2).

Après avoir introduit le facteur (y — l)1 dans. le polynôme (1), on effectue la division, et l’on trouvé, pour premier reste,

(ya — 8y + 3) x — yJ + 4y — 1 . . . . (3).

Multipliant ensuite le polynôme (2) par (y1 — 5y -f 3)’ et

C0«P!.ÉBE5T DE I.’ÉMXI'tA.TICm.

divisant le résultat pur le reste (3) , on obtient potfr le reste , fonction de y seulement ,

- y5 — JL0y4 -(- 87 y* — 64y’ + 82 y — 16. . . . (4).

Comme , pour effectuer la première opération , on a été obligé d’introduire le facteur (y — 1)’, et que y— 1, substitué dans l’équation (2), donne x = 2, il s’ensuit que ce facteur doit entrer comme étranger dans le polynôme (-4).

Divisons donc ce polynôme par (y — 1)J ; il vient pour résultat,

y3 — Sy’-t^Oy— 18 = 0... (8), équation qui est la véritable équation finale.

En appliquant à cette équation la méthode des racines commensurables , on trouve pour racines ,

Pour obtenir Ie$ trois valeurs correspondantes de x, il faut , comme on l’a vu ( n° 270), substituer chacune de ces valeurs dans le reste du premier degré , et l’on obtient x = 1 , x = 1, x = — 1 ; c’est-à-dire que les équations proposées admettent trois solutions, dont deux sont [x = 1, y =2]; et la troisième est [x = — 1, y = 4].

En effet, supposons dans les équations (1) et (2), y=2; il vient 2x3 — 3x + 1 et xa + x — 2 ,

polynômes qui, comme il est aisé de s’en assurer, admettent le commun diviseur (x — 1).

Pareillement, y — 4 substitué dans (1) et (2), donne 4x3 — "S+l’-et Sx’ + x — 2, qui admettent le commun diviseur x + 1 .

304. Soient encore les deux équations x3 — (8y — 3) x’-KSy5— 6y — 1) x— y3 + 3y’ + y — 8 = 0. . . (1), x’ + (2y + 4) x + y» + 4y + 3 =0. (2).

En appliquant le procédé ordinaire, on obtient, pour reste du premier degré ,

(3y5 + 3y) x + y3 + 6y= + 8y . . . , (3), et pour reste indépendant de x,

y6 + 3y5 +yl — 3y3 2 ya = 0 . . . . (4).