COMPLÉMENT DE L’ÉLIMINATION

C’est la véritable équation finale ; car, d’après ce qui a été dit n° 361, l’équation (2) étant du second degré, et le coefficient de *’ étant numérique, l’introduction d’un facteur, dans le cours du calcul, ne change rien à l’équation finale.

Cela posé, si l’on résout l'équation (4), on reconnaît facilement qu’elle peut être mise sous la forme

Considérons d’abord les deux valeurs de y qui n’entrent qu’une fois dans cette équation.

En faisant y — 1 dans le reste (3), et égalant ce reste à 0 , on trouve 6x+12 = 0, d’où l’on déduit x== — 2, c’est-à-dire que le facteur (x-*-2) devient commun aux deux proposées.

Substituant de même y = — 2 dans le reste (?>y, on obtient 6x + 6 = 0, d’où x = — 1 ; donc (x + 1 ) devient diviseur commun des deux équations.

Mais si l’on porte y = 0 dans le reste (3) , tous les termes de ce reste disparaissent, c’est-à-dire que l’on trouve 0.x — 0,

d ou x = g.

Pour expliquer cette circonstance , il faut observer que l’hypothèse y = 0 rendant nul le reste du premier degré en x ; il est à présumer que c’est le reste du second degré qui devient diviseur exact des deux polynômes. En effet, remontons à ce reste du second degré, c’est-à-dire à l'équation (2); il vient, par la substitution de y = 0,

Posant de même y=0 dans le premier membre de l’équation (1), on trouve

Or,' il est ajsé de recpnnaître que ce dernier polynôme est divisible par le précédent, et donne pour quotient, x — - 1.

De l’équation x3 + 4x + 3 = 0, on tire d’ailleurs

et ce sont les deux valeurs de x qui correspondent à y = 0.

Il reste encore à considérer la valeur y = — 1. L’hypothèse