S26 COMPLÉMENT UE L’ÉLIMINATION

y = — 1 , introduite dans le reste (3), anéantit encore tous les

terifies, c’est-à-dire que l’on trouve 6.^ = 0, d’où x —

Maûs si l’on remonte au diviseur du second degré , ou à l’équation (2) , il vient, par la substitution de y = — 1, -

' d’où l’on tire . x = 0, x = — 2.

La même valeur, y = — 1, reportée dans'(l), la réduit à x3 + 6x? + 8.r == 0,

dont le premier membre est divisible par x* + 2x, et donne pour quotient, r + 4.

'Récapitulant ce qui vient d’être dit, on trouve, pour les solutions des équations proposées ,

365. N. B. Il est à remarquer ici, 1° que le nombre des solutions est égal au produit des degrés des équations ; 2° que chacune des valeurs de y, à laquelle il correspond deux valeurs de x, entre deux fois dans l’équation finale. '

Ce résultat est conforme à ce que nous avons dit n“ 362, savoir, que le degré de l’équation finale doit être égal au nombre des solutions de la question.

366. Le cas particulier que nous venons d’examiner étant l’un

des plus importans de l’élimination , nous allons entrer dans quelques détails à ce sujet. ■> ...

Toutes les fois que la substitution de l’une des valeurs de l’équation finale en y dans le reste du premier degré en x , anéantit tous ses termes , c’est une preuve certaine qu’à cette valeur de y il correspond plus d’une valeur de x, ou, ce qui revient au même , un commun diviseur des deux proposées , d’un degré supérieur au premier..

Pour obtenir ce commun diviseur, ou les valeurs de x correspondant à la valeur de y, il faut substituer celle-ci dans le reste du second degré. Si tpus les termes de ce reste s’évanouissent encore , on remonte au reste du 3* degré , et ainsi de suite , jus-

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COMPLÈTENT DE l’EI.IMINATION.

g 11’ à ce qu’on en trouve un dont tous les termes ne s’évanouissent plus; et c’est alors le diviseur commun des deux proposées. Egalant ce reste à 0, et résolvant l’équation résultante , on obtient toutes les valeurs de x, correspondant à la valeur de y que l’on a considérée.

La réciproque est vraie , c’est-à-dire que, toutes les fois qu’à une même valeur de y il doit correspondre deux , trois. . . , n valeurs de x , il arrive nécessairement que les restes dü l'r. 2e,.. (n — 1 )'"»<• degré s’évanouissent; et le reste du niimc degré, égalé à 0 , donne les n valeurs de x.

Le facteur du premier degré , correspondant à cette valeur de y, entre d’ailleurs à la niim* puissance dans l’équation finale , conformément à 'la remarque du n” 365.

367. Lorsque , dans le reste du premier degré en x , qu’on suppose de la forme + N ( M et N étant, généralement des fonctions de y), on substitue, à la place de y, une des valeurs tirées de l’équation finale , il peut arriver deux cas singuliers dont il est bon de faire mention :

1° N peut se réduire à 0 par l’ effet de cette substitution, et M à une quantité numérique quelconque .

Dans ce cas , il est évident que la valeur correspondante de x se réduit à zéro, puisque l’on a

2° N peut se réduire à une quantité numérique , et M à 0.

Dans ce cas , 1 équation x = — -jÿ- donne x = —,

c’est-à-dire que la valeur correspondante de x devient infinie. Ce résultat , que l’on obtient quelquefois dans les formules du premier et du second degré , peut fort bien convenir à la question , si elle est de nature à admettre des solutions infinies pour x, et finies pour y. La Géométrie analytique en offre des exemples nombreux.

368. Jusqu’à présent, nous avons supposé ^ue l’application de la méthode conduise à une équation finale en y; mais il n’en est pas toujours ainsi.

COMPT.ÉSEKT DE I.’tl.IÏJSATIOH.

Le reste indépendant de x , auquel on parvient nécessairement tôt ou tard , peut se réduire à une quantité numérique quelconque , ou à 0.

Examinons d’abord le cas où l’on parvient à un reste numérique, c'est-à-dire indépendant de x et do y.

Ce résultat prouve évidemment que les deux équations sont incompatibles , ou n’admettent aucune solution, puisque, d’après la méthode du n° 289, pour former l’équation finale, il faudrait égaler le reste à 0, ce qui 'conduirait à une absurdité ( à moins que la solution y — V infini ne fût admissible pour la question proposée).

Èt en effet, comme, en appliquant aux deux polynômes proposés le procédé du p. g. c. d., on trouve un reste numérique avant aucune substitution particulière faite pour y, si l’on donne à cette inconnue une valeur quelconque , et qu’on applique le même procédé aux deux polynômes résultant de cette substitution , on doit nécessairement retrouver le même reste. D’où l’on voit qu’aucune valeur dey ne peut introduire de commun diviseur en x , condition qui , cependant , est inséparable de toute valeur convenable de y.

Soient , par exemple , les deux équations

yx3 —

yx3 — y3

yX

lor reste.

2° reste .

Donc les équations sont incompatibles.

Dans cet exemple , l’impossibilité de l’existence simultanée des deux équations peut être mise en évidence. En effet, il résulte de la première opération que l’équation en x3 peut être mise sous la forme .

(à’ — y7 + à)yx + x + y = 0.

COMPI.ÊSS’IT DK I.’U.INUSATIOS.

D’ailleurs l’équalion en x1 est

or, toute solution de cette dernière équation anéantit- la première partie de 1’éqüation précédente ; donc, pour que ces deux équations existent simultanément , il faut que l'on ait à la fois

x + y = 0, et X* — y» -f3=0; ce qui est impossible , puisque at-f-y donne x' — y» = 0,

résultat contradictoire avec x1 — y" + 3 = 0 , tant que ^et y seront des quantités finies.