Considérons actuellement le cas où le reste est nul

Ce résultat prouve que les premiers membres des deux équations ont un commun diviseur en x avant aucune substitution particulière faite pour y ( voyez n° 268 ) , et que , par suite , ces équations sont indéterminées.

En effet, soit D le facteur commun aux deux premiers membres ; on peut mettre les deux proposées sous la forme

A' x D = 0, B'xD = 0;

et l’on voit qu’elles peuvent être satisfaites, soit en posant séparément D = Ô, soit en posant A' = 0, B' = 0.

(Nous ne parlons point des solutions qui pourraient être fournies par A' = 0 et D = 0, ou bien par B' = 0 et D = 0, parce qu’elles se trouvent implicitement renfermées dans l’équation unique D = 0.)

Si maintenant on supprime le facteur D dans les premiers membres des deux équations, les résultantes seront A' = 0, B' = 0, et n’admettront plus qu’un nombre limité de solutions.

Or, comme il est possible que le facteur commun aux premiers membres des deux proposées, qui les rend indéterminées, soit tout-à-fait étranger à la question d’où dérivent ces équations, et comme d’ailleurs ce facteur, égalé à zéro, peut n’admettre que des solutions imaginaires ( telle serait , par exemple, l’équation D = x'+y*- 1-,1 = 0, qui donne pour y des valeurs imaginaires correspondant à des valeurs réelles de x , et réciproquement), on conçoit qu’il peut être utile de connaître les solutions

COHPIÊHEST DE l'ÉLIMISATIOK.

des équations A' = 0, B' = 0 , ces solutions différant d'ailleurs, en général, de celles que fournit l’équation unique D = 0.

Prenons, pour fixer les idées, l’exemple suivant :

Soient les deux équations

x3 — 3yxa+8y’x — 5xa + 10yx + 6x — y3 — 5 ya — 6y=p= 0. . . (1), x3 — 5yxa + 8yax — x — 4y3 + y = 0 (2).

Ordonnant les premiers membres par rapport à x, et divisant (1) par (2) , on obtient pour premier reste ,

{2 y — 5)xa — (5ya — lOy — l)x + 3y3 — 5ya — - 7y . . . (3).

Prenant 'ce reste pour diviseur , le polynôme (2) pour dividende , et faisant la préparation d’usage , on trouve pour second rester, <

(y4— 10y3 + 35ya— 50y + 24)x— ys+ 10y4— 35y3 + 50y*— 24y...(4).

Enfin , après avoir multiplié le polynôme (3) par le carré du coefficient de x dans (4)., si l’on divise par (4) le polynôme (3), ainsi préparé , on parvient à un reste nul.

Ce résultat semblerait indiquer que (4) est diviseur commun des deux polynômes (1) et (2), puisque la dernière division est çxacte ; mai% cela «st évidemment impossible, d’après l’inspection du reste (4) dont les . coefficiens sont des fonctions dey, taotjis que le coefficient de x3 dans (1) et (2) est égal à l’unité.

Ppur expliquer cette contradiction , il faut observer qu’on a multiplié (3) parle caçré du coefficient dont x est affecté dans (4), sans s’assurer d’abord (n° 38) si ce coefficient n’est pas facteur de la partie de (4) affectée de x°. Or, c’est précisément ce qui a lieu ; car celte partie revient à . . .

— y{y * — 10y3+35ya — 50y + 24).

Il résulté de celte remarque que ce n’est pas (4) qui est un diviseur commun aux deux proposées, mais (4) débarrassé du facteur y4 — lOy3 + 35ya — 50y + 24 , ou bien x — y.

Supprimant donc le facteur (x — y) dans les deux polynômes (1) et (2), on obtient pour résultats,

x1 -r- (2y + B)x + ya + Sy + 6 = 0. .. (5), et x* -<-4yx+4ya — 1 = 0 (6).

COMPLÉMENT DE l’éUMINATIOM.

370. Concluons de là que, toute» le» fois qu'on opère sur deux équations dont le» premier s membres , ordonné» par rapport à x , ont des coefficient premiers entre eux , *i l’on parvient, après un certain nombre d’opérations , k in reste net, et que les coefficient du reste précédent ne soient pat premiers entre eux, ce n’est pat ce reste qui est commun diviseur des deux proposées , mais bien le quotient de la division de ce reste par le facteur commun à cet coefficient.

Il resterait maintenant à appliquer de nouveau aux deux équations (5) et (6) le procédé de l’élimination, afin d’en déduire l'équation finale qui leur correspond, et, par suite, toutes les solutions des équations (8) et (6). Mais nous allons faire voir que ce calcul est inutile , c’est-à-dire que la première série d’opérations donne l’équation finale relative aux deux équations (8) et (6), ainsi que le reste du lfr degré en x correspondant à cette équation finale.

371. Pour nous rendre compte de cette circonstance, d’une manière générale, considérons les deux équations A== 0, B=0, que nous supposons renfermer un commun diviseur en x et y, ou bien en x seulement.

En appliquant d’abord aux deux polynômes le procédé du p. g. c. diviseur, on trouvera une première série de quotiens et une première série de restes, lesquels restes contiendront également le facteur commun. Mais si l’on supprime ce facteur dans A et dans B, qu’on veuille ensuite agir sur les polynômes résultans A' et B', on retrouvera nécessairement les mêmes quotiens , et des restes qui ne différeront de ceux de la première série d’opérations, qu’en ce qu’ils ne contiendront plus le facteur commun ; donc le dernier reste, entre autres, de la seconde série d’opérations , ne différera du'dernier reste de la première série, que par l’absence du facteur commun.

Ainsi déjà , le premier membre de l’équation finale qui correspond à A' = 0, B' = 0, n’est autre chose que le dernier reste de la première série d’opérations , débarrassé du facteur commun à A et à B ; en d’autres termes, c’est le facteur commun , fonction de y, qui existe entre les çoefficiens de ce reste.

Quant au reste du premier degré en x de la seconde série

COHriÉHEIlT DE l’ÊLISII NATION.

d’opérations \ il doit être égala l’avant-dernier reste de la première série , divisé par le facteur commun ; c’est donc le dernier quotient de la première série. '

Dans l’exemple précédent, l’équation finale relative aux deux équations (3) et (6), est

y4 — 1 Oy3 + 3oy’ — SOy + 24 = 0 . . . (7) ;

et le reste du premier degré en x n’est autre chose que le quotient du reste (3), par ( x — y); ou bien ,i

(2y B)* — 3y’ + Sy + 7<... (8).

L’équation (7) , résolue d’après la méthode des racines commensurables, donne pour valeurs,

Substituant chacune de ces valeurs dans le reste (8), et résolvant fce reste égalé à xéro, on trouve, pour les valeurs de a? correspondantes ,

372. Considérons, pour le second exemple, les deux équations *3 — (3y 1)*’ + (y1 — 2g)x + g’ + y=0... (1),

on obtient d'abord , pour reste du 2e degré ,

fy-*’ — (y’ — y — * — y' — y +1 *• • (8) ,

et pour reste du premier degré ,

(y4— : 8yJ+.2y— 1) a- + y4 — Sy’-(-2y — 1,. . . (4).

Mais au lieu d’opérer comme dans l’exemple précédent, c'està-dire de multiplier (3) par le carré de y* — 8y’ + 2y — 1, et de diviser (3), ainsi préparé; par (4), On peut observer sur-lechamp que le reste (-4) revient à

( ÿ4 — By1 + 2y — 1) (<r+ 1).

* Omettant alors le facteur en y, et divisant (3) par (jr+l), on obtient un quotient exact et égal à

2ya; — y* — y + 1.... (5);

d’où l’on peut conclure que (ar-f l)«st diviseur commun des deux proposées.

ÉMMINATIQA AVEC billPLIHCATIOX.

Otjo

Ces équations, débarrassées élu facteur (x + I), se réduisent à

x2 — xy+ 1=0 (7);

et la question est ramenée «à éliminer entre ces deux équations. Or, en opérant sur ces deux équations comme précédemment , on trouve pour équation finale ,

et pour l’équation du premier degré en x correspondante, le résultat (8) égalé à 0 , c’est-à-dire

La première de ccs deux équations n’admettant pas de racines commcnsurables, il faudrait y appliquer la méthode des racines incommensurables; après quoi, l’on substituerait chacune des valeurs de y obtenues dans la seconde équation, laquelle donnerait alors les valeurs de x correspondantes.

tUXIXATIO!» AVEC SlaPLIFlCATIOft.

37S. Les principes qui viennent d’être établis suffisent, .à la rigueur, pour tout système d’équations à deux inconnues. Cependant il y a des circonstances où l’on peut apporter de très grandes simplifications dans la détermination, soit de l’équation finale, soit des systèmes de valeurs de x et de y.

Reprenons les deux équqtions déjà traitées auviuméro 364,

x' — fôy— Z)x2 + (Zy2 — 6y— 1)* — yi + ty*+y — 3 = 0.. . . (1),* *\+ {-y + 4)x +y, + 4y + 3 = 0..l (2).

Après être parvenu au reste du premier degré

(•V + Sy) x + y3 + 0y’ + 5y (3) , .

on peut observer que le coefficient de x revient à

et le coefficient de x°, à y (y1 + 6y + 5) ;

d’pù l'on voit d’abord qqe y est facteur commun à ces deux cucfficiens; d’ailleurs, y’ + 6y + 8 devenant nu l par l’hypu-

ÉU»ISAT!6!»

thèse y — — 1 , il s’ensuit que y + 1 divise ce polynôme. Doue y [y + 1) est diviseur commun des deux coefficiens du reste (3).

Cela posé, puisque, poury=0 et y = — 1, le reste (3) s’évanouit , il en résulte que chacune de ces valeurs , substituée dans le reste du second degré (2) , le rend diviseur commun des deux proposées.

On peut donc provisoirement supprimer ces deux facteurs , sauf à les introduire, à la fin du calcul, dans l'équation finale , comme devant en faire partie.

Divisant donc (3) par y (y + 1 ), on obtient pour résultat, 3x + y + 5 . . « (4).

Prenant (2) pour dividende et (4) pour diviseur, on parvient, toute réduction faite , à l’équation finale

Remarquons maintenant que, ayant supprimé, dans lé cours du calcul, les facteurs y et [y + 1), à chacun desquels correspondent deux valeurs.de x , on doit introduire ces mêmes facteurs à la seconde puissance dans le résultat (en vertu de ce qui a été dit n° 365 ) ; et il vient

pour la véritable équation finale. — C’est l’équation trouvée * n8 364 par la méthode générale.

374. Concluons de là que si, pour simplifier les calculs, on . vient à supprimer dans l’un des restes un facteur fonction de y, il faut, pour avoir la véritable équation finale, multiplier le reste indépendant de x auquel on est parvenu apres la suppression, par chacun des facteurs du premier degré en y qu’on a pu supprimer, élevé à une puissance d'un degré égal au nombre de valeurs de x qui correspondant à ce facteur supprimé : ces valeurs de x se tirent d’ailleurs du reste qui précède celui dans lequel on a opéré la suppression.

D’où il suit encore que , quand on a supprimé , dans le cours du calcul, des facteurs fonctions dey, et qu’on parvient ensuite à un reste numérique (n° 368), les équations proposées^ne doivent pas être regardées comme incompatibles mais elles

A YKi. SIMFLIVICATIU*.

admettent pour tolution les valeurs de x et de y qui peuvent correspondre aux facteurs supprimés, et dont il faut* par conséquent, avoir soin de tenir compte.