Appliquons encore ces principes aux deux équations
x 3 — (Sy + Ojx1 + (3y’ + 18y + 23)x — y3 — 9yJ — 23y — 13=0... (1), x3 + (3y — 3)x» + (3y* + 6y — l)x+y3— 3y’ — y + 3=0... (2);
on obtient d’abord, pour premier reste,
(Oy-f-C)x’ — (24y-f-24)x+2y3 + 6y3 + 22y + 18... (3).
Or, avec un peu d’attention, on reconnaît que 2 (y + 1) est facteur commun des trois coefüciens de ce reste (le dernier coefficient se réduit en effet à 0 , par l’hypothèse y = — 1 ) ; supprimant donc ce facteur, on a pour résultat ,
Prenons actuellement (2) pour dividende, et (4) pour diviseur; il vient, pour nouveau reste ,
On reconnaît encore ici que 24y (y + 2) est facteur comiùun des deux cocfficiens ; et il vient , après la suppression ,
Divisant enfin (4) par(6) , on trouve pour quotient , Sx — 6 , et pour reste ,
Revenons sur nos opérations, et observons d’abord que, comme pour rendre les divisions possibles , nous n’avons eu besoin que d’introduire des facteurs numériques, le résultat (7 J ne saurait renfermer aucun facteur étranger.
Cela posé : 1° En égalant à 0 le facteur (y + 1) supprimé dans le reste (3) , on en tire y= — 1 , valeur qui, substituée dans l’équation (2) , donne • ‘
d’où l’on déduit x=0,x=2,x = 4;
donc le résultat (7) doit être multiplié par (y + l)3.
2° Le facteur y (y + 2) ayant été supprimé dans le restp (8J, il
ÊUJ1IXATI0S
faut poser •successivement y = 0 et y — — 2 dans le reste (-1), ce qui donne
pour y=0, Sx1— 12x4-9=0; d’où x=I, x=3,
pour 2 , Sx’— 12x + fJ=0 ; d’où x=l, x=t3 ;
ainsi le facteur y 3 {y + 2)’ doit être introduit dans le résultat (7):
3° Enfin , si l'on résout l’équation
on en déduit y=l , y = — 3, valeurs qui, combinées avec la valeur x = 2, que l’on tire du reste (6) égalé à zéro , donnent encore les deux systèmes
y — 1 et x = 2, y = — 3 et x =. 2 ;
donc l’équation finale cherchée est
équation dont le degré est égal au produit de ceux des équations proposées.
•On a d’ailleurs, pour les Solutions de ces équations,
d’où l’on peut aussi conclure que l’équation finale en x, est x(x — 2)’ (x — 4) (x — 1)’ (x— 3)’ = 0.
370. N. B. Lorsqu’on a l’attention de supprimer les facteurs en y qui se rencontrent dans les différens restes, le reste indépendant de x, auquel on parvient, ne renferme plus aucune valeur de y à laquelle il corresponde plusieurs valeurs de x (à moins que le dernier diviseur ne soit d’un degré supérieur au premier); c’est-à-dire que le reste du premier degré en x ne s’évanouit plus par la substitution d’une valeur particulière de y ( voyez n° 366). Mais quelquefois ces facteurs échappent à l’observation, et alors ils se retrouvent dans Je résultat de la dernière opération.
Deux nouveaux cas particuliers se rattachent à celui où In méthode est susceptible de simplification.
AVEC SiaPLlFlCATIOX.
877. Premier cas. Lorsqu’on veut forTner l’équation finale en y, il peut se faire que l’une des équations proposées renferme un facteur fonction de y; ce qu’en reconnaîtra aisément d’après l’inspection des coefïiciens du polynôme ordonné par rapport à x.
Dans ce cas, Comme, ce facteur étant égalé à 0 , les valeurs correspondantes de y ont la propriété de vérifier cette équation, quelque valeur que l’on donne à x, il s’ensuit que, si l'on substitue ces mêmes valeurs de y dans l’autre équation , les valeurs de x qu’on en tirera, jointes aux valeurs de y, donneront autant de solutions communes aux deux équations. A insi , l’on pourra supprimer provisoirement ce facteur dans l’équation qui le renferme, opérer ensuite sur les équations résultantes,- et introduire dans le résultat le facteur supprimé , à une puissance d’un degré marqué par le nombre des valeurs do x que donne l’équation indépendante de ce facteur. ,
Soient, pour exemple, les deux équations ■ .
>s, 8xJ — 2y*’ — ly'x+ 2y3 = 0... (1), ,
Avec un peu d’attention , l’on voit que (y1 — 1 ) est facteur commun aux deux^coeffiriens de la seconde. Supprimant ce facteur, on trouve pour résultat,
sr L". ’?w * / • ' * '
yx — 6 = 0 . . . (8) ;
et la question est ramenée à éliminer x entre les équations (1)
et w 1
On trouve , pour l’équation finale correspondante , y« 9y4 — S'By3 + 824 = o£ . . (4) ,
résultat dans lequel il faut introduire le faeteur (y’ — I )■> ; ce qui donne pour la véritable équation finale ,
(y’ - l)5 (y6 - 9yi — 36y’ + 824) = 0 . . . (5) .
(Le degré de celle-ci est égal à 6 + 6, ou 12, qui est précisément le produit de Ceux des équations proposées.)
L’équation y* — 1 = 0 , donnant d’ailleurs y — ztz 1 , si Ton substitue chacune de ces valeurs dans l’équation (I), on obtient les valeurs de x correspondantes , savoir :
538 ÉIIHIKATION
1° Pour y=l, Sx* — 2x2 — Sx + 2=0, dou x=l,' t, gi
2° Pour y=— l,3x3 + 2x2— Sx— 2=0, d’où x=l,— l,—
Quant à l’équation yG — 9 y 4 — 36y2 + 324 .= 0 , observons qu’elle peut être mise sous la forme
y’(y 4 — 36)— 9(ÿ4 — 36) = 0, ou bien (ÿ* — 9) (y* — 36) = (h
Cela posé, l°y2 = 9 donne y = =b3.
Faisant, dans l’équation yx — 6=0, ÿ==0>
on trouve x = g , c’est-à-dire x = 2.
Pareillement , si l’on pose y — ® ,
il en résulte. » — 2.
2° y4 36 = 0, ou (y’ — 6) (y1 + 6) = 0, donne
y = ± |/6 et y = ± V — 6*
Reportant ces valeurs dans yx — 6 = 0 , on obtient pour
y = — l/=Te, x = + v/=~6.
On a donc enfin, pour les 12 solutions des équations proposées, y==l, I, 1,-1, -1,-1, 3,-3, V/6,— v/0, V'-Q, x=l,-l, l '1,-1,. -f, 2,-2, 1/6, -|/6, - V/=6, V/=ô; et pour l’équation finale en r ,
378. Second ca*. Les coefficiens des deux équations ordonnées par rapport à x peuvent renfermer un facteur commun fonction
AVEC SIMPLlPlCATtO*.
Dans ce cas, elles sont (n° 268) indéterminée» , en ce sens que chacune des valeurs de y, données par le facteur commun, les vérifie, quelque valeur qu’on y substitue d’ailleurs pour x. Pour faire disparaître l’indétermination , il suffit de supprimer le fhcteur commun , et d’opérer ensuite sur les équations résultantes. Soient les équations
(y1 — y) ** + (y3 — y3) * + y4 — y3 — y + 1 = o . . . fi).
II est aisé de reconnaître que [y — 1) est facteur commun de tous les coefficiens de (1) et de (2) ; ainsi , y=I les vérifie, quelle que soit la valeur de x. Mais si l'on supprime ce facteur, il vient
yx1 + y'x + y3 — 1 = 0 , ;
(y — 2) xa + yx — y' + y = 0,
équations sur lesquelles on peut opérer comme à l’ordinaire.
«79. Remarque générale tur l’élimination. Il est très important de décomposer, lorsque cela est possible, les équations proposées en facteurs , quand bien meme ils devraient être fonctions de x et de y à la fois. Les calculs de l’élimination se font alors très promptement.
Supposons, par exemple, qu’on ait pu mettre les proposées sous la forme
(yx — 6 ) (x1 — I ) = 0,
(2x — 3y) (xa — y’) = 0,
équations qui reviennent à celles-ci :
En combinant successivement chacun des trois facteurs de la première avec chacun des trois facteurs de la seconde, op obtiendra neuf systèmes d’équations dont l’ensemble pourra remplacer le système proposé , et qu’on devra traiter successivement.
Par exemple , en combinant les trois facteurs de la première
iusinATton aveq smpuriCATion.
équation avec le premier facteur de la seconde, ce qui donne les systèmes . .
yx — 6 = 0 et 2x — 8y = 0 ,
x — 1=0 et 2r — 8y = 0,
x + 1 0 et 2x — 3y = 0,'-'
on trouve, pour le premier,! ^ x **’ „
pour le second ,
pour le.troisièrae , y = — •= , x = — 1.
Combinant de même les trois facteurs de la première équation avec le second , puis avec le troisième facteur de la seconde, on trouverait
y = 1/6, - 1/0, 1, - 1, y/Hê; - l/=6, 1,-1,
1 ~ l/6, — i/6„ 1, — 1, — ' |/=ïï; 1/ — 6, — 1, 1;
ce qui donnerait ainsi douze solutions différentes.
Quant aux équations finales en y et en x, il suffit, pour les former, de- rapprocher les facteurs qui correspondent aux valeurs de y et de x.
On trouvera, par ce moyen , les deux équations
Ces mêmes équations ne pourraient s’obtenir, d’après la méthode ordinaire, que par des calculs extrêmement laborieux (*).
Si l’une des équations seulement pouvait être décomposée en facteurs , il suffirait de combiner chacun de ces facteurs égalés à 0 , avec l’autre équation ; ce qui donnerait autant de système» particuliers d’équations auxquelles on appliquerait la méthode.
N. B. La remarque précédente sert aussi à faire voir comment on peut former à priori des systèmes d’équations susceptibles d’admettre des solutions données.
.(*) V°y°z> pour la décomposition des polynômes, la seconde partie de In note placée s la fin de ce chapitre.
AUTRES EXEMPLES II El IMINATION.
Voiei de nouveaux exemples d'élimination :
x*— 2xy+y3 + 4ar — 4y-)-«=0 ;
équation en y l)(y— 3)=0,
cqualioji en a-3(ar3 — l)(jr + 3) (.r + 2)=0.
2° y3 + (2:r + 2)y3 — a"3y +7a-y — By — 2.r3 + 9-r1 — Ix — 6=s(d),
y 3 + Sx’ + 4 xy + y + 5*— 2=0 ;
équation en V . (ar — l)3 (4a:3 — 1) [x — 2) = 0 ,
équation en y (4y3— 25) {y + 2) (y + 3) (y + 8)=0.
3° x* — 2 ry + y’ — 4# + 4y + 3 = 0, x 3 — 2xy •+■ y3. — 6a- + 6y + 8 = 0;
équations incompatibles .
4° ®3 + 2ary + y3 — lOy — lOy + 21 = 0,
ai* — 2 xy + y3 + 6x — 6y + 5 = 0,
équation en y..* (y — 4)3 (y — 2) (y — 6) = 0,
équation en x ( x — l)3(x — 3) (ar+1) = 0.’
