PREMIÈRE PARTIE

Démonstration du théorème énoncé n° 250 (*).

Tout polynôme premier P (rationnel et entier), qui divise exactement le produit AX B de deux autres polynômes rationnels et entiers , doit nécessairement diviser l'un de ces polynômes.

Ce théorème général repose sur plusieurs autres propositions qui n’en sont que des cas particuliers, et que nous allons démontrer successivement.

1. Psbmibe est. — Soient P Un nombre premier, A un nombre entier quelconque, D un polynôme rationnel et entier, mais dépendant d’une seule lettre ot, c’est-à-dire tel que l’on ait

B = a»n -f- bun— « -{- can~a sa -f- t;

(a, b, c, s, /, étant des nombres entiers quelconques positifs ou négatifs).

Comme le produit A X B devient alors

Ao . un A b . an * — J- A c • 8tn“’î "I- .... As . ot —J- A/;

et que P divise, par hypothèse, ce produit, il s’ensuit nécessairement (n° 30) que P doit diviser chacun des cocfficiens A a, A b, A c,. . .As, A/,- donc il faut ( Arithmétique , 1 1* édit., n° 133) que P divise A, ou bien chacun des nombres a, 6, c,. . . s , t , et par conséquent B.

D’où l’on peut conclure que tout nombre premier P, qui divise exactement le produit A X B de deux quantités dont lune A est un nombre entier quelconque , et Vautre B un polynôme rationnel et entier dépendant d'une seule lettre et , doit diviser A ou B.

2. Secoxd cvs. — Soient P un nombre premier, À et B deux polynômes rationnels et entiers dépendant de la seule lettre «, c’est-à-dire tels que l’on ait

A = a ocn bun~l + cocn—a -f-. -f- sot /,

B — afotn - J- bfotn'—1 -j- ........ s'et V;

(a, b, c,. . .s, t , a', 6', c',. . . s ', étant des nombres entiers).

(*) Celle démonstration est due A M. Lcfcburc de Fourcy, examinateur d’admission A l'Ecole Polytechnique.