PREMIÈRE PARTIE

Désignons par A' l’ensemble des termes de A, dont les coefficiens renferment le facteur P, et par A" l’ensemble des termes dont les coefficiens ae sont pas divisibles par P ; il en résulte

Soient de même B' et B" les deux parties de B, dont l’une a tous scs coefliciens divisibles, et l’autre ses coefficiens non divisibles par P ; on a aussi

Multipliant l’une par l’autre les égalités (1) et (2), on obtient AB = A'B'+ A"B'+ A'B"-J- A"B" . . . (3).

Cela posé , puisque , par hypothèse , P divise chacun des coefficiens de A' et de B', il s'ensuit que P divise les trois premières parties du second membre s de l'égalité (3); donc, pour que P divise le produit AB, il faut nécessairement qu’il divise la quatrième partie A"B". Or, je dis que cette dernière division est impossible ; car, désignons par kxr, k'xd, les deux termes de A" et de B" affectés du plus haut exposant de «; comme leur produit kk'.xr* r' ne peut se réduire avec les autres produits partiels qui entrent dans A"B", il faut nécessairement (n* 30) , pour que P divise A"B",*qu’ii divise **'; ce qui est absurde, puisque le nombre P ne divise ni k ni k' .

Le seul moyen de faire cesser l’absurdité est de supposer A" ou B" égal à 0 ■ et alors, tous les termes de A ou de B étant divisibles par P, il s’ensuit que A ou B doit être divisible par P, pour que A X B soit lui-même divisible par P.

Donc tout nombre premierV, qui divise exactement le produit A X b (le deux polynômes rationnels et entiers, doit diviser tous les coefficiens de l’un de ces polynômes, et par conséquent ce polynôme.

3. TaoisiÈa* cas. — Soient A un nombre entier quelconque, B un polynôme rationnel et entier, dépendant de la seule lettre x, P un polynôme premier, de même nature que B.

Puisque, par hypothèse, le produit A X B est divisible par P, on a l’égalité

(Q étant une quantité entière numérique ou algébrique).

Décomposons le nombre A dans ses facteurs premiers; et soit

( plusieurs de ces facteurs pouvant être égaux) ; l’égalité (1) devient

f-rr /».b=p x Q- •• (2);

d’où, divisant les deux membres par f ff’.-.f'."). B

Or, le premier membre de celle-ci étant une quantité rationnelle et entière ,