DU PLUS GBA*D COSSUS DIVISEUR

est-elle de n’en donner ici qu’une partie , sauf à y revenir plus loin, et lorsque nous aurons acquis les matériaux nécessaires pour l’établir d’une manière complète. . v

Théorie élémentaire du plus grand commun diviseur . algébrique.

34. Le plus grand commun diviseur de deux- polynômes- Vst le polynpme le plus grand, par rapport aux exposons et aux coefficiens, qui divise exactement les deux polynômes proposés. ,

La propriété caractéristique du plus grand commun diviseur est que, si l’oh divise les deux polynômes proposés par leur plus grand commun diviseur, les quotiens qui en résultent sont premiers entre eu?, c’est-à-dire ne, renferment plus aucun facteur commun. , m \

Cette proposition est évidente; car soient A et II les polynômes donnés, D leur plus grand commun diviseu^, A' et B' les quations, ori a nécessairement, • p ‘ .. • <

„ • ' • A =3= A' x D et B =? B' x D. ■ . ‘

Or, si A'.et B' avaient enéore un facteur commun d, il s’ensuivrait que <2 serait un diviseur commun aux deux polynômes et plus grand que D, soit par rapport aux exposans, soit par rapport' aux coefficiens ; ce qui serait contre la définition de D.

35. On a vu en Arithmétique, 1° Que le plus grand commun ’ diviseur de deux nombres entiers contient comme facteurs, tous les

diviseurs particuliers commun # aux deux nombres., et ne peut pas renfermer d’autres facteurs ;

2° Que le plus grand commun diviseur de deux nombres entier y. est le même que celui qui existe entre le plus petit nombre et le reste de leur division. .

La théorie du plus grand commun diviseur algébrique repose également sur ces deux principes , pour la démonstration des- , quels nous renvoyons au septième chapitre.

Ceci admis, supposons d’abord qu’il s’agisse de trouver le plus grand commuu diviseur entre les deux polynoiues

a^ • — s’i+BifS’— 3//} et oa — 5U4 + 441.

42 OC i*LC9 GRAND -COMMUN DIVISEUR.

• • Première opération.

a3-1— a’4+3a4’ — 3 43 ( a'1 — Ba4-f-44’ 4 ,

« •+■ 4a’4 — ab ’ — 343 ' «q-44 ’

ou bien , + 194’ (a^i).

■ \ Deuxième opération . •

• o’ — Sai + 44’ [ , a—- b • * *

cc qui donne a— b pour le plus grand commun diviseur;

Commençons par diviser le polynôme du plus haut degré par ’ le polynôme du plus faible degré; le quotient est , comme on le voit dans le tableau ci-dessus, a' + 44; et Ton obtient pour reste. ... 10«A* — 1943.

Il résulte du second principe, que le plus grand commun diviseur cherché est le même que celui "qui existe entre ce reste et le polynôme qui a servi de diviseur.

Mais 19a4’ — 1943 pouvant être mis sous la forme 194’ (a-, — 4), on voit que le facteur 194’ divise ce reste sans diviser, t. i a’ — 5a4 44’ ; donc, en vertu du premier principe , ce facteur

ne peut entrer dans le plus grand commun diviseur, ce qui veut dire que le plus grand commun diviseur entre les quantités a ’ — 5a4-f44’, 194’ (a — 4), et par conséquent entre les deux, quantités proposées, est le même que celui qui existe entre a° — Sab+ib 2 et a — 4. Ainsi l’on peut, sans inconvénient, supprimer ce facteur, et la question est ramenée à chercher le plus grand commun diviseur entre a’ — Ba4 + 4’ et a — 4.

Divisant maintenant le premier de ces deux polynômes par lè second , on a pour quotient exact, a — 44; dono a — 4 *•

est leur plus grand commun diviseur, et par conséquent , c’est aussi le plus grand commun diviseur des deux polynômes proposés.

Reprenons le même exemple, eH ordonnant les deux polynômes par rapport à 4, /

— 343+3a4’ — a’4 + a3 ‘et 44’ — Ba4 + a’.

oc pus r.nwo connus mvisEiR. 43

. Première opération.

— 1243+ 12a4* — 4a*4 + 4®3 j 4 4* — Ba4 + a*

— 3 ai1 — a*4 + 4a3 J — 24 , — 3fc

nubien, + 19a*( — 4+a).

, ' Deuxième opération. '■ •.

. 4,4* — S ai + a2 j

ce qui donne — 4 + a ou a — i pour le plus grand commun diviseur. ’,

Au premier abord , on est embarrassé pour faire la division des deux polynôme», parce que le premier terme — Zi3 du dividende n’est pas divisible par le premier terme 44* du diviseur. Mais si l’on obsetve que le coefficient 4 de celui-ci n’est pas facteur de tous les termes de 44* — 8a4-|-a*, et qu'uinsi, en vertu du premier principe, 4 ne saurait faire partie du plus grand commun diviseur, on peùt, sans aucun inconvénient, introduire ce facteur dans le dividende, ce qui donne — 12 i3 + 1204’ — 4 a’4 + 4a3; et alors la division des deux premiers termes devient possible. .

Effectuant cette division , on trouve pour quotient — ■ 3 i , et pour reste, — 8a4* — a*4 + 4a3.

Comme , dans ce reste , l’exposant de i est encore égal à celui du diviseur, rien n’empêche de continuer la division, en multipliant de nouveau ce reste par 4 , afin de rendre possible la division des deux premiers termes.

Cette préparation faite, il vient — 12 ai2 — 4a*4.+,16a.* qui , divisé par 44* — Sa4-fa’, donné pour quotient — 3a (qu'on séparera du premier par une virgule , éoriime n’ayant aucune liaison avec lui), 'et pour reste, — • 19a’4 + 19a3.

Ce dernier reste pouvant so mettre sous la fprnie

19a* ( — 4 + a) , on supprime fc facteur 19a*, comme ne faisant

44 ' nu pu us* (iftssu jcobrek divisbur.'

pas partie du plus grand commun diviseur ; et la question est •ramenée à chercher le plus grand commun diviseur entre 44’ — 5a4 + a’et — ri + «, ■ *

Divisait ccs deux polynômes l’un par l’autre , on trouve pour quotient exact , — 44 + a ; donc — 4 + a ou a — ■ 4 est le plus grand commun diviseur cherché. •

516. Dans ce même exemple , comme dans tous ceux où l’exposant de la lettre principale est plus grand d’une unité dans le dividende que dans le diviseur, on peut abréger l’opération en multipliant tout de suite le dividende par le carré du coefficient du premier terme du diviseur. On conçoit en effet que, par ce moyen , le premier quotient partiel qu’on obtient doit renfermer ee coefficient à la première puissance. Multipliant le diviseur par le quotien^, et faisant la réduction avec le dividende ainsi préparé , on a un résultat qui doit encore contenir le coefficient comme facteur, et la division peut se continuer jusqu’à ce qu’on obtienne un reste de plus faible degré que le diviseur; par rapport à la lettre principale.

Voici le tableau des opérations : . .

4‘ P re/n tare opération.

. Multiplication par 16 , ou par le carré de 4.

— 4843 + 48a4’ — 16a’4 -p lüa3 ) 44’ — Sa4+o’

— 42«4’ — 4a’4+16a1 . ^ — 124 — Su 1er reste.... — 19o’4-f-19aî .. ou bien, lOa^ — 4 + a).

Deuxième opération.

44’ — 5d4 + a’ \ — 4 -4- u — ai (i ■ — 44 + a

N. B. Si l’exposant de la lettre principale dans le dividende surpassait de deux , de trois unités. . . , l’exposant de la même lettre dans le diviseur, il faudrait multiplier le dividende par