Soient, pour second, exemple

15«s + I0«4* + 4œ34’ + 6a’53 — 3 a4V et 12«35’ + 38a’53 + 16a54 — Ï045.

Avant dé procéder à la division de ces deux polynoffies , commençons par observer que le. premier contient a comme facteur commun dans tous ses termes; et puisque ce fàcteur n’outre pas

dans le second polynôme,' otj peut le supprimer,' comme ne fai- ‘ ... * • sant pas partie du commun diviseur. (

Par la même raison, Je facteur 2/)’, étant commun à tous les

termes du second pidynome et n’entrant pas dons le" premier,

peut être supprimé. Ainsi la question est ramonée à rechercher

le plus grand commun diviseur entre les polynômes

et 6a3 + 19a’4 + 8 ab1' — r553„

Première opération. »

ZOa'i + 2Ôa33 + 8ir5’+12a43 — €54 j 6a3 + 'WaVr + BitA1— 353 -TW -ZHa‘b‘ + 37a53 — 654 \ Sa, —2 Ü'f~

+ 41 la’A'+274a43— 13744 ' '

ou bien 1374’(34’+2o5— 5’). ■ ; ,

v ’ Dcüicièine opération. ,•

' €u3 + 19aJ4 +"' 8&4’ — 553 ) 3a> + 2a5 — 5-' .

Donc 3o’+ 2a5 — 51 est le plus grand commun diviseur.

En suivant la même méthode que dans l’exemple précédent , il faudrait multiplier tout le dividende par le coefficient 6 du premier terme du diviseur, ou plutôt par le carré de 6; mais comme 15 et 6 ont un facteur commun 3, il suffit évidemment

46 DD PLUS- CHAUD cbüMDI» D1VISÏCR.

de multiplier tout lè dividende par 2 , facteur de 6 , qui n’entre pas dans ld. •• • .

Cette préparation faite, on effectue la division, ce qui donne d’abord un reste dorit.le 1er terme est — 75 a3b. Comme 75 contient enfcore le facteur 3 qui entre dans 6, il suffit de multiplier ce reste par 2 pour continuer la division qui, étant effectuée, donne pour l'r reste principal, 411a’4’ + 274 aP —157 44.

Or, il est facile de reconnaître que, dans -ce reste, il existe un facteur commun 1574’; fet puisque ce facteur n’entre pas dans le second polynôme , on peut le supprimer, comme ne faisant pas partie du commun diviseur; et la question est ramenée à rechercher le plus grand commun diviseur entre les polynômes ‘ »6o3 + 19a’4 + 8o4’ — — JJ43»

et * Se’ + 2 ai — 4’.

Effectuant la division 'de ces deux polynomës, on trouve pour quotient exaçt, 2e + 54; ainsi le reste 3e’ + 2o4 — 41 est le plus grand commun diviseur cherché.

58. Remarques On pourrait demander si les suppressions qu’on opère dans le cours du caleul , de facteurs communs à tous les termes de l’un des restes, n’ont pour objet que de simplifier les calculs, ou bien, si ce sont des opérations indispensables. Or, on peut aisément reconnaître que ces suppressions sont nécessaires; car si, dans l’exemple précédent , on ne supprimait pas le facteur 1374’, il faudrait, pour rendre possible la division du premier terme du nouveau dividende par le premier tenue du diviseur, multiplier tout le dividende par 1374’; mais alors on introduirait dans le dividende un facteur qui se trouverait aussi dans le diviseur ; d’où il résulterait que le plus grand commua diviseur cherché se compliquerait du facteur 1374’ qui ne devait pas d’abord en faire partie.

| L’exemple suivant est propre à confirmer ce qui vient d’être dit.

39. Soit à trouver le plus grand commun diviseur entre les deux polynômes

nh + 2a’ —-34? — 44c — ac — e’ et 9ac -f- 2a’" — 5a4 + 4c’ -f- 84c — 124’.

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BD ÏLtS GRAND COMMUN DIVISEUR.

Première opération,

2a’ + 4 I " — 54* \ Sa*.- — *4 I a — 124*e I» 4 4c J + 9c J . +• 84c

ou Jbicn , (34* — 5e) (2à + 34 + c).

.. Deuxième opération.

a — Ab m "f“ ^ A '

’v H tê '

Donc Sa -f 34 -f c est le plus grand commun diviseur.

Après avoir ordonné les deux polynômes , on peut , sans aucune préparation , effectuer leur division , co qui donne pour premier reste

Pour continuer l’opération, il faudrait, en prenant le second polynôme pour dividende et ce reste pour diviseur, multiplier le nouveau dividende par 64 — 10c, ou simplement, par 34 — 5c, parce que le facteur 2 entre déjà dans le 1 " terme du dividende ; mais, avant d’effectuer cette multiplication, voyons si ce facteur 34 — 5c ne diviserait pas le second terme du reste , savoir :

48 DE . PLIS GR*SD C.OMJH K DIVfSElB.

94' — 12ÿc — 5c’. Or, cefte division réussit et donne pour quotient exact, S4+c; d’où il suit que le t'este péut se mettre sous

la forme (SA. — 5c) (2a-p 3A-pc). . .

Comme le Jitcteur^A.— 5c se trouve dans ce re^te , et n’entre

pas dans le nouveau dividende [puisque ce facteur étant indépendant de la lettre a-,' devrait (n° 80) exister entre les coeflieiens des diverses puissances de dette lettre, ce qui n’est pas], on peut, sans aucun inconvénient, le supprimer..

Cette suppression est d’ailleurs, indispensable., parce qu’autrement on devrait introduire ce facteur dans le dividende; et alors, les deux polynômes contenant un facteur commun qu’ils n’avaient pas auparavant, le plug grand coqùnun diviseur serait changé; il se compliquerait du facteur 34 — '5c qui ne devait pas en faire partie. , .. * . • , •

La suppression faite,' on>.cflectue' la nouvelle division, ce qui donne* un quotient exact; donc 2œ + -34 -p ç -est le plus grand Commun diviseur. . ’ v ' ;>'

40. Nous proposerons, pour dernier evemple, de trouver le plus grand commun diviseur entre le polynôme a 4 -p 3a3A -f- 4«’4’ — 6aA3 -p 244 et le polynôme 4a’A -p 2 ab“ — ■ 243, :

ou simplement , 2 a? + ub — 4’ , puisque le facteur 24 peut être supprime dans le second. *

Première opération.

8ni + 24a3 A -p 32a’A> — 48flA3-pi(5A4 i V+ni — 4*

-p 20ra34 -p 36a’4 1 — 48aA:’ -p 1 644 ' J ' 4«* + 1 OaA -p 1 34* -p26a’4* — 38o43-p 164* , •

— 51«A3+29A'., ou bien — A3(51«— 294).

Deuxième opèraiiot Multiplication par 2601 , carré de 51.