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si l’on multiplie pïir SHr*, et qu’on transpose. tous les termes, à l’exception du premier, il vient * >

ctm l ' ^ •

égalité évidemment absurde ; car le second membre-est un polynôme rationnel et entier, tandis que le premier est essentiellement fractionnaire ( note f n#,6). ' •

Sqit en second lieu un polynôme rationnel et entier, tekque

\am -f- -f-x . . Mà -j- N.

Égalons ce polynôme à 0, et posons (n° 263) a = on trouve, après la disparition des dénominateurs ,

équation dont le premier membre est de même forme que le polynôme (l) et qui , si elle admet des valeurs rationnelles pour a', ne peut en admettre que d’entières.

Désignons parp, • les différentes racines entières de cette équa-

tion; les racines correspondantes de l’équation

A am + Bo"*-1 -J- . . 7-J- Mo -f- N ~ 0,

seront Çr- Or , parmi çelles-ôi , les unes peuvent être entières

et représentées par « , a',. .... . les autres fractionnaires et exprimées par

-, Ç et y > & et /} . . .S- étant premiers entre eux,) .

Par conséquent, les diviseurs rationnels et entiers du 1er degré par rapport à o, du polynôme proposé , seront %

' a — « , a — ar y, et yfl — f, y a — & '

Il suit «To là que la recherche des diviseurs entiers du 1er degré , par rapport àfune des lettres qni entrent dans un polynôme donné, est ramenée à la recherche des facteurs-de la forme a — K, K étant une quantité entière, positive ou négative, numérique ou algébrique ; et pour obtenir ces facteurs, il .suffit de savoir résoudre en quantités entières une équation de la forme

o™ -f- Po"*-> + Qo“-a To -j- Ü = 0,

P, Q, . ... T, U, étant des quantités algébriques entières.

SECONDE PARTIE

La méthnilc établie (n* 320) pour résoudre en nombres entiers une équation numérique de même forme, est applicable çn tous points à la question dont nous nous occupons ici. Il suffît donc de se reporter A ce numéro , pour »e former une idée de la marche qu’ri faqt suivre à l’égard d’un polynôme rationnel et entier, quelque compliqué qu’il soif. Nous nous borneront à quelques remarques générales..

10. Première remarque* L’application de la méthode supposant que le

dernier terme du polynôme ordonné est décomposé dans ses facteurs premiers, il semble au premier abord qu’on soit conduit à une pétition do principe ; mais observons, 1° que ce dernier terme est plus- simple que le polynôme proposé ; 2® que, dans tous les cas, il renferme une lettre de moins que ce polynôme. •. •

Ainsi d’abord, quand le polynôme ne renferme qu’une se ule lettre , le dernier terme est-numérique ; et l’on sait déjà trouver tous les diviseurs d’un uombre. - > i , . \

Si le polynomrf renferme deux lettres, et qy’on l’ordonne par rapport à l une d’elles, le derpier terme n’est plustfonction quo d’une seule lettre ; et 1W est censé savoir déterminer tous les diviseurs entiers d’un polynôme d’une 8 eu h lettre. . V • * * * ■ ■

Si le polynôme renferme trois lettres, le, dernier tqrme n’en renferme que deux ; et ainsi de suite. . f "■ >

11. Seconde remarque. Lorsque, dans le polynôme proposé, le coefficient

de la plus haute puissance de la lettre principale est différent de l’unité, comme il faut avoir recours à la transformation du n® 265, pour rendre ce coefficient égala 1, et que cette opération donne Heû, en général, à de nouveaux coefficiens très compliqués, il convient d’appliquer d’abor.d la méthode au polynôme lui-même, de la manière indiquée n° 324. Par ce moyen, on obtient tous les facteurs premiers de la foifmc (a — a); après quoi l’on divise le polynôme proposé par le produit de tous ces facteurs , et la question se réduit à déterminer tous les facteurs tels que (ya — £), du polynome-quotient. * * ’ ’ <

12. Troisième remarque, ©ans la même- circonstance , il convient encore

de s’assurer si les coefficiens des diverses puissances de la lettre principale n’auraient pas un commun diviseur (n* 247), parce que , s’it en existait un, on le supprimerait et l’on opérerait ensuite sur lè polynôme résultant do cétte suppression.'* # t '< * . *

Le facteur supprimé pourrait lui-même être un polynôme décomposable , et ses facteurs premiers seraient les facteurs indépend^ns do la lettre principale. ... - - •,

13. Quatrième et dernière remarque. Toute's les fois que le dernier terme renferme comme facteurs .des monoracs littoraux, tels que h , 62; ....

c2. . ., il est plus simple de substituer immédiatement ces quantités prises avec le signe -f- , puis avec le signe — , dans le polynoùie , parce que le résultat de cette substitution est un polynôme tout développé.

Celles de ces quantités qui jouissent de la propriété de rendre nul- \epo-

HOTE

tynome, sont reconnues racine*. C’est la même règle que pour -J- f et — 1 par rapport aux équations numériques.

Les exemples suivons éclairciront ces différentes remarques.