o4 + a34 -j- a-h- -J- ni

Égalons ce polvnome à 0, après l’avoir ordonné; il vient 2n4 4. ba* + 42o2 + 4’a — 4* = 0. . .. (1).

Conformément à la remarque du-n° 11, cherchons d’abord les diviseurs tels que a — «.

Or, les diviseurs de 44 étant 4, b*, b3, b3, il faudrait essayer ces diviseurs tant avec le signe -J- qu’avec le signe •*— , et, pour cela , le» substituer au lieu de a dans l’équation (1); mais comme le polynôme proposé est homogène ( Alg ., n“ 11), il est évident que b2, substitué à la place de s, donnerait pour 2 a* un terme de plus haut degré que tous les autres , et qui , par conséquent, ne pourrait être détruit.. Même raisohnement par rapport à 4:l et b'. Ainsi l’on ne doit essayer que les diviseur» -]- b et — b.

Or, le dernier seul donne, par sa substitution,

donc — b est racine de l’équation , et par conséquent a — (-- 4) ou (o -f- b) est, diviseur du polynôme proposé. ' . , ,

Divisant ce polynôme par p -[- k, et égalant le quotient à 0, on trouve

On pourrait actuellement faire disparaître le coefficient de a3, en po-

sant a3 = puis opérer sur l’équation .résultante comme sur la proposée ;

mais si l’on rapproche le 1" et le 3“ terme, le 2* et le 4”, de l’équation (2) , on reconnaît qu’elle revient à

• 2a(a«-f.62) — 6(a2 + 42) = 0, ou (2o — 4) (o2 + b2) = 0.

Donc enfin le polynôme proposé est égal à

ce qui donne deux faetcuts du premier degré et an facteur du. second, degré,' >

15. Danseet exemple, comme dans tous ceux où le polynôme est homogène et composé de deux lettres seulement , on peut ramener la résolution, de l’équation à celle d’une équation numérique.

Soit, en effet, l’équation générale

Am» + B4«>»— * + C42o'»-s + . . . -J-M4"*— ■ n -|- 1M'« =0,

A, B, Cf. . .M, N, étaùt des nombres entiers.

SECONDE PARTIE

Si l’on pose ^ = x , d’où nz=bx, il vien • ,

A.bmxm B bmxm~i +'C 3 + P(6W = 0 ,

ou supprimant, pour le moment , le facteur b,n, y .

Axm -f- Bar"»—* -J- Cr"1— a + • « • -J- Mx + N = 0 ,

■quation numérique qu’il ne s’agit plus que de résoudre en nombres comuten- Mirables. Ces valeurs étant substituées dans la relation a = bx, donneront les valeurs de a correspondantes , et, par suite , les diviseurs de la forme a — et, OU yot — 6.

Ainsi, soit fait dan» l'équation (1) du n° 14, a = bx ; il vient 6>(2.r1 + x3 + z24- * — 1) =0.... (3). .

Le facteur entre parenthèse» étant égalé à zéro et soumis à la méthode des racines comufensurablcs , on trouve lépreux facteurs (x 4- 1)» (2x — 1), et, par suite, le facteur {x2 -f" l)i d’où, substituant dans l’équation (3) et remplaçant x par sa valeur tirée de la relation a — bx ,