V 2* EXEMPLE

Le dernier terme — b3c -}- b 2 c2 revient A b2 g ( — b -f- c) ; ce qui donne , pour les diviseurs simples ,

On ne doit d’ailleurs essayer que ces diviseurs , puisque le polynôme est homogène; car b~ ou Écf par exemple , mis à la place de a dans l’équation , donnerait b 8 ou 6*6*, quantité d’un degré supérieur à toutes les autres, et «jui , par conséquent , ne pourrait pas être détruitcl

En faisant successivement 0 = 6, — 6,c, — c, on reconnaît que b seul vérifie l'équation. Ainsi déjà (a — b) est un des diviseurs cherchés.

Il reste maintenant à appliquer la méthode du n° 320 aux deux facteurs — b -j- c , b — c. *

+ 63 — bc2

+ b3 — 26Jc — 6c!

— 6* — bc

— 26*+ 2 bc.

85$ HOTE. •

Considérons d'aliord le facteur (— 6 -J- c). Après avoir. divisé le dernier terme par ce facteur , ce qui donne + 62c pour quotient , on ajoute à c« quotient le'coeflicicnt de o1 , et l'on obtient pour somme , 63 — 6e2.

Divisant 63 — b2c par — b + c, on a pour nouveau quotient, — 62 —6c, qui, ajouté au coefficient de a2, donne ptiur somme, ' -

Divisant — 262 + 26c par — 6 + c , on obtient + 26 , quotient qui , ajouté au coefficient de a3, donne pour somme ,

Divisant enfin + 6 — c par — 6 + c, on trouve pour quotient, -s- 1. Donc — 6 + c est racine.

Eu appliquant la méthode au second diviseur (6 — c), on obtient pour la première somme , 63 — 262c — 6o2, quantité qui n’est pas divisible par 6 — c. Ainsi 6 — c doit être rejeté. , " , •

Il résulte de lâ que les seuls diviseurs entiers , et du premier degré , du polvnoine proposé, sont (o — 6) et (o -J- 6 — c). Divisant ce polynôme par le produit (o — 6) (ft — j— 6 — c) ou n2 — ac — 63 -J- 6c, on a pour quotient , «2 — 6« + 6c. ‘

Ainsi le polynôme proposé revient à

3* Exanni!.

Le dernier terme revient à 262(362 — 26c — c2) ; or, il est aisé de reconnaître que ( hypothèse 6 — c, rend nul le facteur entre parenthèses ; dony ec dernier terme est' divisible par 6 — c, et l’on trouve

En appliquant la méthode à chacun des diviseurs simples

ou 26, 2(6 — c)',- 2(36-f.c), — 2(36 4. c), -2(6— c), -26,

On reconnaît que (6 — c) seul satisfait à toutes les conditions. Ainsi l’on a> / o=6 — e,‘ d’où a — 6 + c'=0.

Divisant le polynôme proposé par a — 6+c, on obtient pour quotient 2a3 + (36 + c)a2 — 462 . a — 663 — 262c • ■ . (2).

SECOND* PARTIE

Posons , dans oc nouveau polynôme, a =

il vient 0'* + (36+c)a'* — 86*. a' — 346». — 86*c... (3).

Or, le dernier terme revient à

ce qui donne pour les diviseurs simples, abstraction laite du facteur 8 ,

L'application de la méthode aux deux diviseurs 36 + c, — 36 — e, fait reconnaître que — (36 + c) est racine de l'équation (3) , et par conséquent

que 9 = — (36 + r) , ^ racine de l’équation (2). Donc (n°8) (Jo + 36+p)

est diviseur du premier membre de cette équation.

En effectuant la division, on obtient pour quotient, ' *

Donc enfin , le polynôme proposé peut se mettre sous la forma (O — 6 + c) (2o+36+c) (a* — 26*). '

18. Ces exemples suffisent pour mettre au fait de la recherche des facteurs du premier degré d’un polynôme rationnel et entier. Quant aux diviseurs du second degré ou de degrés supérieurs , il faudrait employer Une méthode • analogue à celle qui a été établie' n" 325.

Au reste, il arrive souvent, dans les applications particulières, qu6 ifuclques-uncs des lettres qui entrent dans les polynômes, n’y sont élevées* qua la seconde puissance; et, dans ce cas, la détermination des facteurs ne dépend que de la résolution d’une équation du second degré. ♦

Reprenons l’exemple traité n° 16'; et observons que la lettre c iy entre quà la seconde puissance dans le polynôme.

En l'ordonnant par rapport a cette lettre, on obtient

(62 — ab)c* -^ ( b 3 + ab 2 r- 3 a2b 4- a3)c + ab3 — a2b 2 — <i2b + o* = 0 ;

et il suffirait de résoudré cette équation par rapport à c, puis d’effectuer toutes les opérations et simplifications auxquelles on serait conduit ; mais , avant tout, il convient de s’assurer s’il n’existerait pas un diviseur commun a tous les coefficicns.

Or , lq coefficient b2 — ab revient à 6(6 — a) ; et il est aisé de reconnaître que l'hypothèse 6 — a =0, ou 6 = 0, anéantit les deux autres coeflieiens ;* donc (6 — o) est diviseur commun. En supprimant ce facteur dans le polynôme, on trouve pour quotient , «V.

d'où l'on déduit immédiatement

NUTE. •

r 62 -f- 2n6 — n2 / ( 6 2 -}- 2 ah

ou, réduisant sous le radical au dénominateur 462, développant les calculs , et extrayant la racine carrée ,

rJ

Donc, 1° c — = 6 -f- O; d’où c — 6 — a = Oç

' 2n6 — 2n2 ab — ti2

= •: — g — - ; d ou ci — ab o2 = 0.

Ainsi les diviseurs du polynôme proposé sont

6 — a , ■■ c — 6 — a , c6 — n6 -}- a2 , n o — 1, o-f 1 — ,c, a3 * — ab -|- 6c ,

comme on l'avait déjà reconnu n° 16. '

Le 3 exemple ^n° 17) pqut être traité de la même mapièrc; car la lettre c n entre egalement dans le polynôme qu'à la seconde puissance. On serait conduit à supprimer d’abord le facteur (a2 — 262) , commun à tous les " coefficient.’

ID. Nous traiterons encore un exemple assex remarquable qu’on rencontre dans la Géométrie analytique.

Sait Véquation s .

(y 1 + *s — ex)2 — (a2 — c2) y2 — a2 (x — c)2 = 0.

Gomme , après le développement tfix premier membre de cette équation , les deux lettres, a et c, n’y entrent qu’à la seconde puissance, on peut ordonner indifféremment par rapport à l’une d’elles. •

Ordonnons, par exemple , suivant la lettre c; il vient

■ (y2-fx2-^i2)c2-2x(y2-{-x2— a2)c4-y‘+(2r2— a2)y2+x'-a2x2 = 0,

équation que l’on peu) résoudre par rapporta c. Mais vérifions auparavant si y2 X2 — a2, qui est facteur commun aux deux premiers coefficiens , ne diviserait pas également le coefficient de c°. Or, on 'essayant la division, ou trouve pour quotient exact , y2 -j- x2.

Donc l'équation peut se mettre sous la forme

(ÿ2 + ■ï2 -r o2) (c2 — 2cx 4: ÿ2 + *3) = 0 , .

ou bien (y2 + *2T-o2) [y2 + (x- c)2]=0;

e est-à-dire que le premier membre est décomposable dans le produit de

SECOND* PARTIE. 555

deux facteurs rationnels du second dçgré, que l’oh doit d’ailleurs regarder comme des facteurs premiers.

Si l’on ordonnait le polynôme par rapport à la lettre x , on ne pourrait appliquer la méthode du n° 9 , puisqu’elle ne donne que les facteurs rationnels du 1er degré , et que, par le fait, le polynomo n’est décomposabte qu’en des facteurs premiers du second degré. Mais en ordonnant par rapport à y , on obtiendrait une équation du 4e degré, résoluble à la manière de celles du second.

N. B: L’équation que nous venons de traitçr est cello du lieu géométrique fies pied s> des perpendiculaires abaissées du foyer d’une ellipse sur la tannante considérée dans toutes ses positions .

20. Enfin, la décomposition d’un polynôme en facteurs- rationnels peut •être fort utile dans L’élimination ; car on a vü (n° 379) que , quand on est parvenu à décomposer les premiers membres de deux équations ch leurs facteurs simples , la détermination des systèmes de valeurs propres à vérifier ces deux équations, se réduit à celle des systèmes qui correspondent aux combinaisons deux à deux do ces facteurs égalés à zéro.