FORME GÉNÉRAI, K DES RACINES IMAGINAIRES D CNK ÉQUATION
delà forme + — 1; mais l'expression V r" + •*" 1/ — 1 se
réduit elle-même (n° 121) à une autre de la forme r'" + s"'\/ — 1 ; d’où l’on peut conclure que la première des deux valeurs de x ci-dessus est aussi de la for mep + qV' — 1 ; et, d’après le letnme démontré n° 382, il faut qu’elle en ait une autre telle que p — qV' — 1. ,
■ Or, si l’on multiplie entre eux les deux facteurs
.v — {p + qV' — l) et x — [p—qV' — l), on obtient pour produit {x p)’ q’ ou -r’ — 2 px + p1 + q* , polynôme du second degré en si, dont les coefliciens sont réel^. Ainsi , il est encore démontré que, dans le cas dewt-=2J.w', l 'équation a au moins un facleùr réel du second degré. ,
Soit, en troisième lieu, m=23.m", n" étant impair; on peut former une équation Z = 0 analogue aux précédentes, dont le
degré m,m '■■} ou 2 \n"(»t--i) sera deux fois divisible par 2, et
qui, en vertu de ce qui vient d’être dit, aura au moins un facteur réel du second degré^ d’où, en répétant les mêmes rai'sonnemens que dansla seconde partie de la démonstration, l’on pourra conclurè qne la proposée elle-même a au moins un facteur réel du second degré.
Même raisonnement dans l’hypothèse où l’on aurait 771 = 24.»"' 771=2®.»"'....
Donc enfin, toute équation de degré pair quelconque a au moins un facteur réel du second degré.
CoxsÉQDERCE. Il est facile de déduire de lù que toute équation de degré pair est dècomposablo dans le produit d’autant de facteurs
réels du second degré, qu’il y a d’unités dans „ ou dans la moitié
de son degré.
En ef^st , puisqu’une équation de degré pair a au moins un 'facteur réel du second degré , pn peut diviser son premier membre paf ce facteur ; il en résultera une nouvelle équation de degré pair , à coefliciens réels , qui aura encore au moius un facteur réel du second degré , par lequel on pourra diviser le premief membre de çette seconde équation; et ainsi de suite.
DÉTERIilNATION des racines imaginaires. 808
Donc , le prcmier'mcmbre de la proposée ■pourra être regardé comme le produit d’autant de facteurs réels du second degré , qu’il y a d’unités dans la moitié de son degré.
Si l’équation était de degré impair, comme, en vertu du théorème n” 312, elle aurait au moins une racine réelle, on pourrait l’en débarrasser; et l’cquation résultante serait décomposable en facteurs réels du second degré.
D’où l’on peut conclure, en dernière analyse, le théorème énoncé n° 383, savoir, que les racines imaginaires d’une équation vont par couple , et sont toutes de la forme a dfcbV^— !•
DÉTEHMIKAT105 des racines imaginaires des équatioits.
384. La forme des racines imaginaires d’une équation étant connue, nous pouvons procéder à leur recherche. ' ,
Soit jr"* + + Qjr*»- *+ . ... + Ttf+éU — 0 , •
une équation renfermant des racines réelles incommensurables et des racines imaginaires.
Désignons par p + qV' —1 L’une de ces dernières ; il vient, par la substitution do ce binôme dans la proposée,
(p+q V/^ï)m + P {p + ' + . . . + T{p + gV'^ï) + U= 0.
Or, si l’on développe les calculs , et qu’on appelle M l’ensemble des termes réels , N V' — 1 l’ertsemble de» termes imaginaires , l’égalité ci-dessus revient à M + N l/ — 1=0, équation qui ne peut exister à moins que l’on n’ait séparément
’ • '’ M e=0 et N = 0.
Observons actuellement que ces équations renferment les deux indéterminées p et q , combinées avec les coeüiciens de la proposée. Si donc on cherche tous les systèmes de valeurs de p et de q,
ES NOMBRES RÉELS CO MME NSC RABLES OU INCOMMENSURABLES , propres à vérifier ces deux équations , et qu’on les substitue dans l’expression p + q V~\ , on obtiendra ainsi successivement toutes les racines imaginaires de la proposée.
Telle est 1a méthode générale pour découvrir les racines imaginaires. Nous ferons toutefois quelques remarques qui peuvent
S06 nÈTERflinvrtos
faciliter cette reeherohc , et qui sont d’ailleurs assez iïnportàntes en elles-mêmes. '
385. Supposuns que , pour obtenir les racines réelles incommensurables d’une équation X = 0, on ait éléf obligé (n° 341) de former l’équation aux carrés des différences, Z=0 , et voyons le parti qu’on en peut tirer pour les racines imaginaires.
Désignons par a , b , c , . . . les racines réelles de X — 0 , et par p±q\S — J., p'-àzq'V^-— 1, . . . les racines imaginaires ; pronons d’ailleurs successivement les différences entre toutes ces racines considérées deux à deux ; on en obtient de quatre espèces, savoir :
1° Une différence entre deux racines réelles, telle que a — b,
2° Une différence, entre deux racines imaginaires conjuguées , p + q V'—\ - {p—q ï) = % V—\^q l/~I , 2 q" ;
3° Une différence entre une racine réelle et une racine imaginaire , a — p — qV' — 1, a— p+g)/— 1, b — p' — q'V' — 1 . .
4° Enfin , une différence entre deux racines imaginaires non conjuguées , p—p' + (q—tf )Vr-i,p—pi--(q —q’)V— 1 ..
Or , pour peu qu’on jette les yeux sur ces différences , on reconnaît que les carrés des premières sont des nombres essentiellementpositifs y les cai rés des secondes différences sont — 4 q\, — 4ÿ'a . . c’est-à-dire des quantités réelles, mais essentiellement négatioes. Quant aux carrés des deux autres espèces , ce sont généralement dès expressions imaginaires.
Ainsi, en supposant déjà formée l’équation Z=0, les racines réelles et négatives de cetto équation sont, en général, les carrés des différences entre deux racines imaginaires conjuguées.
Appelons donc — u, — ’S, — y, . . . ces racines , que l’on peut obtenir, soit par la méthode des racines commensurables, soit par
la méthode âes racines incommensurables : on a
4 ql = u, 4 q”=Ç, 4j"J=y»..;
d’où, l’on déduit ;■ •
= ±^», ?’= ± ^ v% ?"= =fc v
DES BACISFS ISHGIXÀIRES.
Connaissant les valeurs de q, q', q",~ . . on obtiendra celles
de p, p', p"..., en' substituant / u, ^ à la place
<f?q, dans les équations M==,0, N = 0, que l’on a établies dans le numéro précédent, et qui acquerront, pour chaque substitution, un commun diviseur en p , lequel, égalé a 0 , donnera les valeurs
<fep> P', P"> v • • V
A la vérité, ce moyen est et» défaut lorsque l'une des racines réelles de la proposée est identique avec la partie réelle p,p' . . . de l’une des racines imaginaires; car dans le cas de a—p, par exemple, les deux différences à — p — q\S — 1, a — p^qV^— ï, se réduisent à — q l / — 1 et q l/ — 1, dont les carrés sont égaux à — y’; il est encore en défaut lorsque les parties réelles des doux racines imaginaires non conjuguées sont identiques ; car, par exemple, p—p’ réduit les différences
à (y— q')Ÿ— l, et J—{q — q')\/ — 1,
dont les carrés sont égaux à — (y — y'}1.
D’où l’on voit que l’cquation Z — 0 peut quelquefois avoir * des racines négatives qui ne représentent pas les -valeurs de
— 4ya, — 4y’’.. mais il est toujours possible de reconnaître si une racine négative telle que est une valeur convenable ,
à ce que , si l’on substitue \ \S «' dans M et N , il faut et il suffit
que les deux polynômes en p, résultant de cette substitution , aient un diviseur commun; toute valeur qui ne satisfera pas à celte condition , devra être rejetée comme provenant de l’une des circonstances dont nous venons de parler.
Nous observerons encore que , dans ces mêmes circonstances, il faudrait que l’équation Z = 0 eût des racines égales , puisque nous avons reconnu plus haut que, dans l'hypothèse de a ==p, deux carrés nu moins sc réduisent à -—'y* ; et jlans l’hypothèse de p—p' , deuj carrés au mpins se réduisent à — (y — y' )’ ; ainsi l’on pourrait, par la méthode des racines égales, débarrasser l’équatiort Z=0 des valeurs différentes de — ,4y%-‘-4y'%
— (? — ?')% etc. ... \
388 NOTIONS PRÊLIBINAIBES.
Quoi qu’il en soit, on conçoit combien la méthode pour découvrir les racines imaginaires d’une équation doit être pénible et laborieuse toutes les fois que l’équation est d’un degré supérieur au troisième.
§ II. RÉSOLUTION COMPLÈTE DE l’ÉQUATION A DEUX TERMES.
386. On appelle ainsi toute équation qui ne renferme qu’une seule puissance de l’inconnue et des quantités connues.
Il résulte de là que toute équation à deux termes peut être ramenée à la forme
•rm±p = 0,
ni
p étant un nombre absolu; et si l’on pose x = y\/p, il vient pymdbp — 0, d’où y™ ±1=0; ainsi, c’est de la résolution de cette dernière équation que dépend celle de toutes les équations à deux termes.
Comme l’équation ym — 1 = 0, revient à y’"=l , on voit que tout se réduit à- trouver pour y, les expressions numériques ou algébriques qui, élevées à la m''me puissance , peuvent produire l’unité. C’est pour cette raison que les racines de l’équation ' y"' — 1=0„ sont appelées les racines de l’unité.
Les valeurs de l’équation y’" +1=0, ouy“ = — 1, sont dites les racines de l’unité négative.
Nous avons déjà résolu (n°* 187 et 290) plusieurs espèces d’équations à deux termes. Nous nous proposons actuellement de les résoudre complètement, quel que soit leur degré; mais, auparavant , il est bon de faire quelques remarques sur la nature de leurs racines.
387. PBE»ifeRE»EST. L’équation y"‘ — 1=0, a une seule racine réelle si m est impair, et deux racines réelles si m est pair.
Soit d’abord m un nombre impair. Comme l’équation n’a qu’une variation de signe, elle n’admet (n® 315) qu’une seule racine positive qui est ±1. D’ailleurs, aucun nombre négatif ne peut évidemment y satisfaire.
Lorsque m est pair, + 1 et ; — 1 vérifient l’équation et sont les seuls nombres qui puissent y satisfaire; car elle ne présente qu’une variation de signe , soit dans son état actuel, soit lorsqu’on y change y en — y. ■ i ,
RÉSOLUTION BE I.’ ÉQUATION yr" — 1 = 0.
Skconokhent. L'équation y™ + 1=0, a une seule racine réelle si m est impair, et toute* ses racines imaginaires si m est pair.
D’abord , quel que soit m, l’équation , n’offrant pas de variations , ne peut avoir aucune racine positive.
Ensuite, quand m est pair, le changement de y en — y né produit encore aucune variation ; ainsi , dans ce cas , l’équation n’admet ni racine positive, ni racine négative.
Mais si m est impair, l’équation est satisfaite par y = — 1 ; et c’est la seule racine négative, puisque le changement de y en — y ne produit qu’izwff variation.
Troisièmement. Les racines de l’équation y®?* — 1=0, ou de l’équation ym+l=0, sont toute * inégale* ;■ car le polynôme dérivé du premier membre étant my’"—‘, cette expression n’a aucun diviseur commun avec y™ — 1 ou ym + 1 .
388. Quatrièmement. 1° Si a désigne une quelconque de* racines imaginaires de V équation ym — 1=0, on a également <tP pour racine de cette équation (pétant un nombre entier quelconque positif ou négatif).
Car, puisque « vérifie l’équation, on a l’égalité
d’où («-»)/>— 1,
égalité que l’on peut transformer ainsi ,
( al’ )"• = 1 ,
d’où l’on voit que aP est aussi racine de l’équation. Donp, « étant une des racines imaginaires de l’équatfon y"'— 1=0, l’on a également pour raéines.
N. B. Plusieurs de ces puissances rentrent nécessairement les unes dans les autres; autrement, l’équation aurait plus de m racinos. Et en effet, soit, par exemple, l’équation
si a. est une racine imaginaire, on a l’égalité *5 — 1=0, d’où <xs==l;
donc. «6=æ'> x*=«; <*'=*5 x æ’œh’; et ainsi de suite.
RÊSOLCTIOït CO»?LfeT*
2° Si a désigne une quelconque des racines imaginaires de l’éguation ym+l = 0, aP est aussi racine (p étant uu nombre impair quelconque positif ou négatif ). < •
En effet, de l’équation *m=— 1 on déduit («">)/> = — 1, puisque/» est, par hypothèse, impair; or cette égalité revient
à ' ‘ (*/>)* ss— 1;
donc aP est racine de la même équation.
Ainsi, a', u3, u5 , «-=•», *-3,
sont des racines de l'équation y"*+ 1=0.
Résolution de V équation vm — 1—0.
389. Cette résolution repose sur une formule trigonoinétrique que nous allons d’abord faire connaître.
Si l’on multiplie entre elles les deux expressions
Cosa + sina. Ÿ-\ et cosi + sini ,
on a pour produit ,
cos, a. cos A +( sin a .cosi+sini.coso).l/ — 1 — sin a .sin l; donc , à cause des formules
cos( a + 4) = cose.cosÆ — sino.sini, ’
sin (a+£ ) = sin a .cosÆ'+ sini.cosa,
il vient (cosa + sina,î'/ — 1 ) ( cos l + sin b. 1/ — 1)
= cos( a-pij + sinla+iJ.V^ —1 ,
Soit a + b — a' , et multiplions ços a' + sin a' . Vf — 1 par cos e-f- sin c 1/=T; oh trouvera de même
( cosa'-f-sin a 'V-i) (cosc+.sinc.V// — l) ‘
= co? (o' + c) + sin (o'+e) .)/ — 1,
et, par conséquent, ' • - , •
(cosa + sina.V^ — 1 ) (cos i + sin £.|/ — 1 ) ( cosc + sine.V^ — 1 )
— cos (a + i +e)-f- sin (« H- i + c) .V, — 1.
DE l’éqcation y’" — 1 a= 0. 871
Eu général, soit un nombre m d’arcs a, b, c,...p; on a évidemment le résultat suivant
(cos a + sin a .!/'■ — 1) (cos b + sin b .V' — 1). „,.(cos/> + sinp ■V' — 1)
= cos (a + i-l-£'+...+^i)4-sin(a + i + c<,-«« + i») • Ÿ - — ! •
Supposons maintenant a = b = c —P> >1 en résulte
a-\-b + c+ . . . . +p — ma; d’où ‘
( COS a + sin a . v/— î) m = cas ma + sin ma (i).
Cette formule étant vraie, quel que soit l'arc a, on peut remplacer a par — a; et si l’on se rappelle que cos( — a) = cosa, sin( — «) = — sin a, il en résulte cette nouvelle formule (cos a — sin a .l/ — l)m=t cos ma — sin ma — 1 . . . (2).
On sait encore que 2rc désignant une circonférence de cercle, 1 le rayon, et k un nombre entier absolu quelconque, on a
cos2&ît=:1 et sin2*T=?0. . f . (3).
