DU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

L’exposant de la lettre a dans le dividende, surpassant de deux unités celui de la même lettre dans le diviseur, on multiplie tout le dividende par le cube de 2, c’est-à-dire par 8. Cette préparation faite, on effectue trois divisions consécutives, et l’on obtient pour premier reste principal, — 5lnA3 -f 29A4. Supprimant le facteur A3 dans ce reste, on a pour nouveau diviseur,-*-5la + 29A, ou changeant les signes, ce qui est permis, Sla — 29A;le nouveau dividende est d’ailleurs 2a’ + «A — A”.

Multipliant ce dividende par le carré de 51 , ou par 2801 , puis effectuant la division, on obtient pour 2r reste principal, + 860A’; ce qui démontre que les deux polynômes proposés sont premiers entre eux , c’est-à-dire n’ont aucun facteur commun. En effet, il résulte du second principe (n° 35) que le plus grand commun diviseur doit se trouver comme facteur dans le reste de chaque opération ; ainsi il devrait diviser le reste 560A1; mais ce reste est indépendant de la lettre principale a; donc, si les deux polynômes pouvaient avoir un commun diviseur, il devrait être indépendant de a, et par conséquent (n° 30) se trouver comme facteur dans les coefficiens des diverses puissances de cette lettre, que renferme chacun des deux polynômes proposés, ce qui n’a évidemment pas lieu.

Ces exemples suffisent pour mettre les commençons au fait de la marche qu’il faut suivre pour trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes.

4 1 . Règle générale. On commence par supprimer dans les deux polynômes les facteurs monomes communs à tous les termes de chacun d’eux. (Il peut arriver que le facteur monoine qui sc trouve dans le dividende, et celui que renferme le diviseur, aient euxmêmes un diviseurcommun ; dans ce cas, on le met à part comme devant faire partie du commun diviseur cherché.) Cette suppression faite, on prépare le dividende de manière à rendre possible la division de son premier terme par celui du diviseur (voyez n°* 35 et 36); puis on effectue la division, ce qui donne un certain reste de deyrè moindre que le diviseur, et dans lequel on supprime les facteurs monomes ou polynômes que peuvent renfermer les corffi- 'i tiens des diverses puissances de la lettre principale . On prend, ensuite ce reste pour diviseur, le second, polynôme pour dividende ,